Calculer les intégrales

/ — i ^ dx et I -— dx,

a et u étant des constantes réelles»

Nous pouvons supposer ces constantes positives, la seconde intégrale, évidemment nulle d'ailleurs, changeant seule de signe avec a.

Considérons la fonction ^(2) = -^ et intégrons-la

suivant l'axe des x et un demi-cercle C situé au-dessus de cet axe, de centre O et de rayon infini. La fonction /{z) n'a qu'un pôle simple z = uî dans l'intérieur du contour; soit [JL| le résidu correspondant, nous aurons

YÀRIABLES IMAGINAIRES. 98

La première intégrale est finie et déterminée et la seconde intégrale est nulle ; car, si l'on pose

z = r(cos6 -+- isinô), on aura

Le dernier facteur est toujours fini; le premier tend vers zéro quand r tend vers Tinfini et il en est de même du second, puisque 6 varie de zéro à ic; donc \mizf{z) = o,

et, par suite, / = o; d'ailleurs,

donc

dx = -e-«".

Séparant les parties réelles et les parties imaginaires, il vient

/* cosax , TT /* sinax .

I aa7=— e""**", / aa? = o.