Calculer, en se servant du théorème de Cauchy

V intégrale

r'^'^ cosax ,

I = ; r dx,

(Gaen, juillet 1884.) Considérons, plus généralement, l'intégrale

■~~cp

'^* cosax ,

-r idx

et intégrons la fonction uniforme

piaz

suivant le contour précédemment défini (n° 162)*, les pôles de la fonction sont donnés par la formule

ITZ

z = ue

ils sont situés sur le cercle de rayon m, aux points

75 -^» -7- et ^> et les deux premiers sont seuls contenus 4 4 4 4

dans le contour. Soient [jL| et [Jia les résidus correspondant à ces pôles simples; nous aurons

— 00 Cl

On reconnaîtrait aisément que / = o : on a donc

/ cosaa? , . r smax , -T rdx-k-il —7 rdx=%Tzi(iii-hiii):

YÀRUBLES IMAGINAIRES. qS

il reste alors à calculer [jl| et [jl2 :

iv lauf 1 — z] --zU— 1)

au , «y- ^(1+1)

giaue * g »/i

d'où

au

u r iau ifiu "I

jx, -+- {X, = -^=^ e »^[(f-+-i)e^ + (t — i)e v^ J 4/21*3

le >" { . au au

sin -— -h cos

on en tire

au

/* * cosax , "ïT ~~î\( . aw aa\

Posant M* ^ f et dérivant n — i fois par rapport au paramètre t^ on déduirait de la formule précédente

/•"''" cosao? , En particulier, l'intégrale proposée a pour expression

C cosaa? , TT II / . a a\

1=1 rdx=-^e v^i sm-= -i-cos—^ )•