Calculer l'intégrale définie

27r+(log3

loe3 ^ - C0S;5

(Rennes, novembre 1886.) Les pôles de la fonction à intégrer sont donnés par la

formule

cosar cosif — sina? sinî^ = 2,

d'où

37 = 2^:7: et ey-{- e-y'= i;

ils sont donc situés sur Taxe des y et ses parallèles distantes de aÂTTc. Aussi, pour éviter qu'ils se trouvent sur le contour d'intégration que nous allons adopter, nous considérerons l'intégrale

. . 2 — cosz

qui est égale à la proposée pour a = log3.

Nous prendrons un rectangle d'intégration de hauteur infinie, dont la base sera à la distance a de l'axe des x, et les côtés parallèles à Oy, à des distances — tt et -i-7r de cet axe. Les intégrales suivant les côtés verticaux se détruisant, et l'intégrale prise suivant le côté rejeté à l'infini étant nulle, l'intégrale cherchée sera égale au produit de 2 7ct par la somme des résidus relatifs aux pôles contenus dans le contour. Or il ne peut y avoir dans le rectangle d'intégration qu'un seul pôle situé sur Oy; si donc a est

supérieur à l'unique racine positive y = log(2 -f- ^/S) de l'équation

ey-^e-y= i,

on aura I = o ; si, comme dans le cas actuel, a est inférieur à cette racine, la valeur de l'intégrale sera ^Tzi^. Or

fA =

sm.3 ^i 2î 1/3' d'où

On peut aussi obtenir cette intégrale à l'aide du changement de variable e'^= u qui fait décrire à u une circon-

férence de rayon e"** quand z décrit le segment de droite proposé. La fonction à intégrer devient alors

dont les pôles sont w = 2 it y/3 ; il ne peut y avoir que le

pôle w = 2 — y/3 dans l'intérieur du cercle si a ^ o ; s'il s'y trouve, comme dans l'exemple proposé, le résidu correspondant est

ce qui conduit au résultat obtenu précédemment.

On peut encore employer le changement tang- = u^ classique pour les variables réelles; on a

lane^ = = Xh- ^Y = m;

1 cosa? -i- e«

d'où, pour l'équation de la courbe, lieu des points d'affixe w,

pa 4 p—a

X2+Y2— 2Y^-^^Î^^^ hi = o;

c'est une circonférence de rayon dont le centre

J pa — p—a

est sur Oy au point j^=: v r~^=5' elle est, d'ailleurs, parcourue en entier quand x varie de zéro à 2 7r. La fonction à intégrer prend la forme r— ^> et le résidu correspon-

dant au pôle m= — > le seul qui puisse se trouver dans

le cercle d'intégration, est

ViLLiE. — Comp. II.

d'ailleurs, ce pôle est dans le cercle si

ça — ç-a

on a

don<

suivant que e^-{- e~^^^.