I -4- a TT

arc tanff = - -h attc + arc tanga ;

suivant que a > i , on devra donc faire A* = o ou A* = — i , et l'on aura

I = arc tanga

On obtient plus directement cette formule en remarquant que

Ti / ^^ r — a cosrr

I = / dx =

r — n. rne t

dx

sin*a7

cosrr — a\2

SlDâ7

[cosa7 — al* , TT

arc tang . 1 = arc tanga ±: -

suivant que a^ i .

109. On considère la courbe définie en coordonnées rectangulaires par les équations

x = t^ — 6t, y —-3t^-i-3at,

où t est un paramètre variable et a une constante. Ayant exprimé, au moyen de tj l^ intégrale s qui représente l'arc de la courbe, on décomposera s en une partie algébrique et une transcendante

- dt

v/R(0 et on calculera les coefficients A, B et G,

Prouver que, si a^ = 8, le polynôme R(^) admet une racine double; prenant alors pour a la valeur i \/i , on donnera V expression explicite de s en fonction de t,

(Paris, novembre t888, a® question.)

On a

dx = Zdt{t.^—i), dy — Zdt{it^a),

considérons Fintégrale

I = 1 = piitifi^^^ti d,

on peut la décomposer en deux autres .

l = I t dt H- / , — - dt :

la première, intégrée par parties, devient on a donc

J v/R(0 d'où

Pour a = 2 y/ 2 , on a

R (t) = t'^-hSs/lt-h 12,

ces deux fonctions admettent le facteur commun t -H y/2 On a alors

QUADRATURES

et le terme à intégrer prend la forme suivante :

at

= 12 v/2 log [^ — /^ H- v/(^ ^ v/2)* -I- 4 J ;

d'où

S r= t{t -\- ^1) >J {t — s/lf -^- ^

-+- I2/2l0gL^ — /2-f- V (^— /2)*+4j.