On propose de démontrer que les deux intégrales

V{x)= rS:!l.dt, Q(:r)= r I}^dt,

ou X est une variable positive, vérifient V équation

dx^ -^ X

Déduire de là que ces deux fonctions sont identiques.

(Paris, novembre 1888, i^' question.)

Les règles de la differentiation sous le signe / étant évidemment applicables, on a

' r dt,

d'où

dx^

d^V dx^

On a de même

H-P= r e-i^dt = ^

£*Q n 2sin^

or, en intégrant Q (^) par parties, on obtient

les deux fonctions P(^) et Q(^) vérifient donc bien l'équation différentielle donnée.

Enfin, sironpose5 = P — Q, i, satisfaisant à l'équation

différentielle '

dx^

est de la forme z=^ a ûnx 4- b cos^. Faisons x = ihiz il viendra .3 = 6, quel que soit k] mais si k tend vers l'infini, l'élément sous le signe / étant nul pour P et Q, on a P — Q = o, donc b = o] on verrait de même, en faisant ^ nir (a/:^- ^TT, que a = o. On a donc identiquement

Si l'on donne à ^ la valeur zéro, la première intégrale

est éffale à - 1 d'où la formule connue

sin ^ , Tc

T- dt — -•