Calculer

a étant réel, positif et plus grand que V unité.

(Conférences de la Sorbonne.)

La fonction à intégrer a deux branchements P et P' situés sur l'axe des :r à la distance dz i de l'origine ; formons un lacet composé de la droite P' Pet de deux petits cercles entourant ces points, et décrivons de O, comme centre, un cercle C de rayon infini. L'intégrale prise suivant le lacet P'P, en partant de la détermination positive du radical, est évidemment égale à 2I; or il y a un nombre pair de branchements dans ce contour; donc la fonction est uniforme entre ce lacet et le cercle C; d'ailleurs, l'intégrale prise suivant ce cercle étant nulle, on a

[JL et [jl' étant les résidus relatifs aux pôles ;r = dz a. Calculons ces résidus

«1 = =!= l = dl — 7== ' \^

ia lia y/a2 — i . a ia y/a* — i

Nous sommes obligés d'affecter le radical du double signe, car rien n'indique quel est le signe à prendre pour le radical du résidu, bien qu'on ait fixé le signe initial du radical quand on est parti pour décrire le lacet. On peut donc écrire

o = al d= — ±

a y a* — i a )Ja^ — i

l'ambiguïté de signes se lève facilement si l'on remarque que tous les éléments de I sont négatifs; la seule pos-

VARIABLES IMAGINAIRES. Io5

sible des quatre combinaisons de signes est donc la suivante :

a /a' — I a /a* — i d'où

L'emploi des variables réelles est plus simple : posant

V^I X^ = XZy

on a

dx{\ -h z^)-h xzdz = o ;

d'où

, a / az \ r

arc tang