Étude de V équation de Kepler
f(z) = z — a — a sin-3 = o,
a étant réel et positif y et a une quantité réelle comprise entre o et tt.
Proposons-nous de trouver le nombre des racines de cette équation comprises entre deux parallèles indéfinies à l'axe desj^ menées à des distances niz et (n-f- i)7r de l'origine, n étant un nombre entier positif ou négatif.
La fonction f{z) étant holomorphe, le nombre des racines de l'équation y( 2) = o contenues dans un contour simple C est donné par la formule
or
'f'{z)dz
= log/(^);
donc, le contour étant fermé, l'intégrale est égale au produit de i par la quantité \ dont a varié l'argument Ae f{z) le long du rectangle A A' BB', de hauteur 2 h infinie {fig» 1 1 ), et Ton a
yàkiàbles imaginaires.
ii3
La variation "k de rarguraent de f{z) sur le contour du rectangle est égale à la somme de ses variations sur les quatre côtés.
Fi{j. II.
{Tv+2)n
Sur les côtés AA', B'B, on a
f{z)=x— azj^ ih
( eixà.h
>—ix^Ji \ •
la distance h étant infiniment grande, on peut réduire cette expression à son terme principal
OLl
g/ig/ar ou
ai ,
Sur le côté AA', x croissant de mz à (n -j- i)7r, Targument de f{z) éprouve une variation égale à H-tt; sur le côté B'B, X décroissant de (/i + 1)71 à mz, l'argument de /{z) éprouve encore une variation égale à -4- tt. La somme des variations de l'argument sur les deux côtés opposés A A', B'B est donc +2-71:.
Sur le côté BA, on a
z ^= mz -h «y,
/(^) = m: — a-^i^y- (- i)« ~ (eX- e-r)j ; ViLLiÉ. — Comp. II. 8
Il4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
l'argument de cette expression est donné par la formule
tang6 =
mz — a
Lorsque j varie de H- oo à — oo, l'argument varie de an — oudeH — à et, par conséquent, éprouve
une variation égale à + 7t, ou à — tu, suivant que la quan-
tite c =: ^^ — est positive ou négative.
Sur le côté A'B', comme y varie de — oc à + oo, la variation de l'argument est égale à -j-ii ou à — iz, suivant
que la quantité c= / \j^ \ ^^^ négative ou positive.
Mais, excepté lorsque /i = o, le signe de c' est contraire à celui de c; la somme des variations de l'argument de f{z) sur les deux côtés opposés BA, A'B' est donc -h 2 tu ou — 2TU, suivant que la quantité c est positive ou négative. Dans le premier cas, qui se présente lorsque n est un nombre positif pair ou négatif impair, la variation de l'argument sur le contour du rectangle est ^tz^ d'où l'on conclut que le rectangle comprend deux racines qui sont réelles ou imaginaires conjuguées ; dans le second cas, qui se présente lorsque n est un nombre positif impair ou négatif pair, la variation est nulle, d'où l'on conclut que le rectangle ne contient aucune racine. Lorsque /i = o, les deux quantités c et c' ayant le même signe, les variations sur BA et A'B' sont égales et de signes contraires, de sorte que la variation sur le contour du rectangle est égale à H- 2TU5 on en conclut que ce premier rectangle contient une seule racine, qui est nécessairement réelle, puisque à toute racine répond sa conjuguée.
175. f{z) étant une fonction uniforme n^ ayant que des pôles simples dont les résidus sont des nombres en-
VARrABLES IMAGINAIRES. Il5
tiers, montrer que la fonction u définie par
du ^
est uniforme et n^a que des discontinuités polaires; trouver ses zéros et ses pôles.
(Gaen, novembre 1887, 3® question.)
On a
/ f{z)dz
Soient deux chemins L el \J allant Ae z^kz et comprenant les pôles a, 6, . . ., A" : on aura, en désignant par A, B, . . ., R les résidus correspondants,
Jf — / = 2 TT i L' «A
(A-HB-i-...-hK)= iTz mi^
m étant entier; or e-'^'^'i^i, donc u a la même valeur, quel que soit le chemin parcouru pour aller de ;:;q en :;.
La fonction u ne peut devenir nulle ou infinie que pour les valeurs de z qui rendent l'intégrale infinie, c'est-à-dire aux pôles de /(z). On a, dans le voisinage du pôle simple a,
Z = a étant un point ordinaire pour la fonction cp; on en tire, pour la valeur de u correspondante.
Ç(3)rf3
donc, pour ^ z=: a, u est nul ou infini suivant que le résidu A est positif ou négatif.
Les zéros de la fonction u sont les pôles de f(z) ayant
il6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Vlll.
un résidu positif; les infinis de u répondent aux pôles de f{z) dont le résidu est négatif.
176. Démontrer qu^une fonction y de la variable complexe x satisfaisant à V équation différentielle
dy X ç,o\.x
dx ir
est uniforme dans tout le plan. Trouver ses racines et
ses pôles,
(Paris, novembre 1886, 2® question.)
Cette équation n'est qu'un cas particulier de celle du
numéro précédent ; en effet, la fonction f(^x)= ~ a
pour seuls pôles les points x = /itt, n étant un entier quelconque positif ou négatif, non nul; de plus, le résidu correspondant au pôle x = rnz est l'entier n.
On en conclut que la fonction y est uniforme dans tout le plan et qu'elle devient nulle ou infinie pour x = /itt, différent de zéro, suivant que n^o.
