Étude de la relation u
Soient A et B les deux points du plan représentant les deux variables imaginaires ^ et w; si l'on s'impose la condition que la distance AB reste constante, le mouvement de cette droite dans le plan est parfaitement défini , puisque l'équation proposée équivaut à deux relations entre les modules et les arguments des variables z et u.
Pour l'étudier, remarquons que
AB = mod(w — ^) = mod - :
le module de z reste donc également constant, et le point A décrit une circonférence de centre O. Soit C un troisième
point invariablement lié à AB : son affixe est
a étant une constante; car, sous cette forme, on reconnaît aisément que les modules de Z — ^ et de Z — ii sont des constantes. Le point G sera le centre instantané de rotation de la figure, si Ton détermine a par la condition
dZ = dz -h oi.d{u — ^) = o;
or la relation proposée, qui peut s'écrire z(u — .5) = i ,
donne
dz d(u — z)
on a donc
dz z
L'affixe de G est, d'après cela, z H — (u — :;) ou simplement 2Z] de là résulte que le lieu du centre instantané est une circonférence de rayon 0G = 2 0A. La courbe mobile roulant sur celle-là dans le mouvement considéré est une circonférence de centre A et de rayon AG. On retrouve ainsi le roulement bien connu d'une circonférence à l'intérieur d'une autre de rayon double, et l'on en conclut que le point B décrit une ellipse.
Pour avoir l'équation de cette ellipse, il suffit de faire, dans la relation proposée, z = re^^, etl'on trouve (n° 135, 5°)
ïï i-^)
ellipse dont les foyers sont les points x = ± 2,
Si le point z décrit successivement autour de O une série de cercles concentriques, le point u décrit une série d'ellipses homofocales.
Il8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
Si le point z décrit une droite OA, trajectoire orthogonale des cercles concentriques, le point u décrira une trajectoire orthogonale des ellipses précédentes, en vertu du principe de la représentation conforme; or, l'argument de z étant constant, la courbe décrite par u est l'hyperbole
cos*6 ~ sTn^^ ~
La relation u=: z -\ — équivaut donc à la transformation
d'un système orthogonal de cercles et de rayons en un système de coniques homofocales.
178. Etant donnée la relation z ^=^u -\- é^ entre deux variables imaginaires, dont les valeurs sont représentées par les positions de deux points K et Bpar rapport à deux axes rectangulaires Ox et Oy, on demande :
I ^ De montrer que, pour que la droite AB ait une longueur donnée m, il faut que les deux points K et ^ se meuvent respectivement sur deux lignes déterminées a
2" De discuter la forme et la position des lieux géométriques OL et ^ suivant la grandeur de m :
3° De trouver les trajectoires orthogonales des lignes CL et des lignes ^ correspondant aux diverses valeurs de m\
4° De déterminer dans quelle région du plan doit être le point d^afjlxe z pour que la valeur de u qui se réduit à zéro pour z = i soit développable en série ordonnée suivant les puissances positives et entières de
(Gaen, juillet i886.)
1° La relation proposée équivaut à deux équations entre les quatre coordonnées des points A et B; en y joignant
Variables imaginaires. 119
la relation AB = const. =:=: m, on a trois équations qui déterminent les lignes a et j3.
2° Si Ton pose u z^- x -\- iy^ on a
m = mod {z — «^ ) = mod e" = e* ;
la ligne ^3 est donc la droite x = logm :^ c. On a encore
z=.\-+-i\ = c-it-iy-r- e^{cosy -h ismy)\
d'où
X = c -h e*^ cos^,
Y =y -^ e*^ sin^,
ce qui montre que la ligne a est une cycloïde engendrée par un point du plan d'un cercle de rayon égal à l'unité roulant sur la droite x •= c — 1, parallèle à l'axe des y et ayant un sommet sur Oj;; la cycloïde est raccourcie, ordinaire ou allongée, suivant que m = i .
3° Les trajectoires orthogonales des lignes ^ étant les
droites y =z a^ celles des cycloïdes a sont données par les
équations
X = a? -4- e* cosa,
Y = a-f-e^sina;
ce sont donc les logarithmiques
X = ( Y — a) cot a -^ loe — r — •
° sina
4^ La fonction u Ae z peut être développée suivant la série de Taylor tant que u reste fonction holomorphe de Z'^ or les points critiques de u sont définis par les équations
ou
d'où
I20 PREMIERS PARTIE. — CHAPITRE Vllf.
ces points sont situés sur la parallèle ^ = — i à l'axe des y^ et les plus rapprochés du point z = i sont les points z = — I =1= in. Le développement est donc légitime pour toute la région du plan comprise à l'intérieur du cercle de centre z = i et de rayon égal à yj^ +iî*.
179. Définition des fonctions elliptiques sn.3, en 3 et An 2 au moyen des quatre transcendantes de Jacobi,
Relations algébriques et relations différentielles
entre ces fonctions,
(École Normale, i888, i*"** question.)
Voir Cours professé par M. Hermite à la Sorbonne.
