Prouver que V intégrale j sn^ z dz n^est suscep

tible que d^ une seule et unique valeur.

On rappelle, pour traiter cette question, la relation

sn(z -H iK') -

k ?>nz (Paris, novembre i885, 3® question.)

Considérons deux chemins quelconques allant Ae a k h et formant, par suite, un contour fermé 5 ce contour comprendra à son intérieur un certain nombre d'infinis doubles de la fonction à intégrer, compris dans la formule

z = 2/nK H- {2n -f- i)iK' ;

cherchons le résidu relatif à l'un d'eux. La fonction sn*^ admettant les périodes 2K et 2«R', on a

sn^fs -f-2/nK -^ (in-h O^K'! = sn^(z -h iK') = rs — r-]

or la fonction impaire sn^, s'annulant pour s =: o et ayant pour dérivée première cnoAno = i, est développable

comme suit

snz = z ~{- (xz^-\-, . ,:

d'OLl

le résidu correspondant à un pôle quelconque est donc nul, et il en est de même de l'intégrale prise suivant le contour considéré, ce qui démontre la propriété énoncée.

Nous avons donné d'ailleurs (n° 106) la valeur de Tinlégrale elliptique de seconde espèce dont il s'agit.

181. Exprimer les fonctions %^{z)^ H<(^), B(:5), H (5) définies par les constantes \Ys^ et liYJ, R et YJ étant des quantités réelles et positives. Donner V exprèssion des racines des équations que Von obtient en égalant à zéro Vune quelconque de ces fonctions.

(Paris, novembre i8^4j ^^ question.)

Cette question étant classique, nous nous contenterons de rappeler les résultats obtenus.

tcK'

Posant (7 = e *^ , on a, m étant entier,

^,{z) = i ^ 'X 2^q"^^ cos -^

Hi(^)= ^2

q -. cos(m-H-i— ,

rmzz K

Enfin l'on a

6i(.s)=o pour >3 = (î/n -4- i)K -H (î/iH- r)iK',

Hi(^) = o pour z — {iTn~{- \)K->r iniYJ^

e(^) =0 pour z = imK-\-{in-h\)iK\

H(^) =0 pour z = imK-\- iniK',