Démontrer V identité

11(237) e(o) 61(0) Hi(o) = 26(37) 61(37) H(a7) Hi(a7),

dans laquelle 0(^), ©i (^), H(\r), H|(;r) sont les fonctions de Jacobi*

On rappelle les relations

e (37-hiK') = AHC37), H (^-hiK') = A6(^), 6i(^ -+- IK') = 1 H, (37), Hi(x + iK') = X 61(37),

oà /'o/i « posé

(École Normale, i885, 2® question.) Ecrivons l'identité sous la forme

6f3?)6,(3?)H(iF)H,(37)

e(o)ei(o)Hi(o) = 2

H{ix)

dans laquelle le premier membre est une constante ; on voit facilement que le second membre est doublement périodique. En effet, les formules

e (3^-f-K)::::.6i(^), H(:r + K)= Hi(37),

6i(3:-hK):=r e (37), Hi(:r-i-K) = — H (37),

mettent en évidence l'existence de la période K.

D'ailleurs, si l'on ajoute iK' à œ, le numérateur se multiplie par — X% et le dénominateur devient

H(237H-2lK')=— H(2^)e ^^ ,

de sorte que la fonction admet aussi la période i¥J .

D'autre part, on reconnaît aisément que cette fonction est holomorphe, puisque, les zéros de H(^) étant

2mK -hiniK', ceux de H(2:r) sont :r = mK + /nR', c'est-à-dire les

mêmes que ceux du numérateur. La fonction se réduit donc aune simple constante c, qu'il reste à déterminer : faisons pour cela ;r = o, il vient

c = .e(o)e.(o)H.(o)xlim[iig-J^j or, H(o) étant nul, la limite cherchée est égale à

lim

puisque, les zéros de H(;r) étant simples, H'(o) n'est pas nul. L'identité proposée est donc démontrée.