Déterminer la valeur de V intégrale définie

e * cos ^^"35 aa.

(Lille, juillet i886).

Soit, plus généralement.

OÙ les fonctions, d'ailleurs arbitraires, /et cp soient telles qu'on puisse appliquer à l'intégrale les règles ordinaires

QUADRATURES

du calcul des intégrales définies, on a

±= rf(-)9-(—)—

OU, en posant - = ^ et prenant x positif,

c'est une intégrale de même forme que y. On en déduit successivement

dx

dx^

or cette dernière, dans l'exemple proposé, est évidemment égale à — y\ l'intégrale cherchée satisfait donc à l'équation différentielle

dx'* •^ '

elle est par suite de la forme

y = eyT^ l a cos hôsin-— )-+-e V^(c cos — = -\- d sm —y

Pour déterminer les constantes, nous calculerons directement y et ses trois premières dérivées pour x =^o\ on a

\dx^/o \dx^/o Jo 2 À

d'où, en identifiant, les quatre équations

b — d = o, b — a-i-ûf-4-c = i/ - > qui nous donnent

L'intégrale cherchée a donc pour expression

y = 4 / - e V 2 cos — - , dans laquelle x est essentiellement positif.