CHAPITRE PREMIER
CINÉMATIQUE.
75. Un point M parcourt avec une vitesse constante toR une circonjérence de rayon R qui tourne autour d^un de ses diamètres AB supposé fixe. On demande quel doit être, au bout d^ un temps quelconque t^ C angle «p dont a tourné le plan de la circonférence pour que la vitesse absolue de M soit toujours égale à Rwy/^. Pour t = o, le mobile se trouve à V extrémité dUin des rayons perpendiculaires sur AB.
Quelle est la trajectoire? Accélération totale à une
époque quelconque?
(Gaen, juillet 1886. >
Cherchons l'expression de la vitesse absolue de M; si l'on désigne par 6 l'angle dont a tourné OM dans le plan
mobile, la vitesse d'entraînement R cos 6 -^^ étant perpendiculaire à la vitesse relative wR, on a, pour déterminer i{^, l'équation
a)Ri/2 = Ri / ai2 h ^ cos^e
OU
on en tire
d(oit)
COSOit
•^ = logtang(|^ ~^ t) "" logtangQ -f- -j.
Pour ^ z=z - , ^ devient infini ; la trajectoire est asymptote au pôle A vers lequel se dirige le point mobile. D'ailleurs, elle coupe tous les méridiens sous le même angle de 45^, puisque les deux vitesses composantes sont égales toutes deux à wR et dirigées l'une suivant le méridien, l'autre perpendiculairement à ce méridien. La trajectoire est une loxodrome.^ cherchons l'équation de sa projection sur le plan normal à AB, on a
i-htang- , ^2 cos8 r e'\-^ -i^ = r—r^ = î^^ ;
d'où
6 I — sinO H I — tang-
r iR
Comme on a R rf9 = --> la courbe est rectifiable, et sa
longueur d'un point asymptote B à l'autre A est ttR y^2.
Pour déterminer Taccélération totale, en coordonnées semi-polaires, nous avons les relations
dt coso)^
r^Rcoso)/, <3 = Rsinai^;
d'où, pour les composantes de l'accélération y : 1° Suivant O^,
-.— = — a)2Rsinto^;
CINÉMATIQUE. 1 27
2° Suivant le prolongement de r,
df^ dt^ cosiùt'
3® Suivant la perpendiculaire au plan azimutal,
('^ Tt) ~ ~ ;r (^ï^'cosw^) = — wîR tango) <; ce qui nous donne
r dt
Y = 0)2 R I / sin2 0) < -{- ( cos lùt -\ ) -h tanff^ o) t
' y \ coso)^/ "
= 0)2 R y/2 y/9. H- tang2 0) f .
La vitesse du mobile étant constante, son accélération
est centripète; d'où l'expression du rayon de courbure de
la loxodrome
ï v/i + i tangse
Or soient G le centre de courbure sphérique de la courbe et MC = co, on a
d'où la relation
smcp= ^,
C016 = —- tangcp,
qui montre que le triangle sphérique MAC est rectangle en A. On en déduit une construction très simple de la droite polaire OC; on mène le méridien AC perpendiculaire au méridien du point M, et on le prolonge jusqu'à sa rencontre en G avec l'arc MG normal à la courbe. Gette construction s'applique d'ailleurs à toute loxodrome.
76. Un point se déplace sur une sphère avec une vitesse constante, de telle sorte que la longitude et la latitude varient proportionnellement ; trouver en fonction
1^8 DEUXIÈME PAKTIE. — CHAPITRE I.
de la latitude les composantes de l^ accélération suivant
le rayon de la sphère et deux droites rectangulaires du
plan tangent,
(Paris, juillet 1889, a* question.)
Soient a le rayon de la sphère, \ la latitude et i^ la longitude du point mobile; on a, par hypothèse,
v^— a> y- = «2 ^ (i | ^-2 cos^A ) = const.:
d'où
, ,„ . û?2X (^2 ^2 sin X cos X
d^^ = kd^'\. -f-T- = rs ^^-T;:•
^ ' dt^ a2(i + Ar^cos^X)*
Les projections de l'accélération, en coordonnées sphériques : i** sur le rayon vecteur; 2"^ sur la normale extérieure au cône droit d'axe Oz] 3° sur la perpendiculaire au méridien dans le sens où ^ augmente, sont, en général (ViLLii^:, Cours de Cinématique, n" 23, p. 25),
' dt^ dt^ dt^
' rcosA dt\ c
Elles deviennent ici
dt I ^^^'dt^
l^ dt
Y,. = = const.,
i>2X^2 sinX cosX(2 -i- A"2 cos^X)
^" ~ \ â(T^rT2~côs2X7 '
i'2/:sinX(2 -f- /:' cos^X)^ ^"* "" a(n-A:2cos2XJ2 '
d'où la relation
T«— ^ï//i cosX.
