L^ extrémité A d^une droite AB se meut sur une

CINÉMATIQUE. 1 29

circonférence dont le rayon est précisément égal à AB, tandis que V extrémité B se meut sur un diamètre de cette circonférence. En quoi consiste le mouvement épicycloïdal d^ une figure plane entraînée par AB?

(Poitiers, juillet i883.)

Le centre instantané I est au point de rencontre du rayon OA avec une normale menée par le point B au diamètre décrit par ce point; on a donc AI = OAi=a. La base est un cercle concentrique au premier et de rayon i a ; la roulante est un cercle de rayon a qui roule à l'intérieur du précédent.

Tout point du plan mobile décrit donc une droite ou une ellipse.

78. Un plan mobile se déplace sur un plan fixe : on considère toutes les droites du plan mobile, et Von prend, à un instant donné, le centre de courbure de V enveloppe de chacune de ces droites au point de contact de la droite avec V enveloppe. Quelle est la courbe sur laquelle se trouvent tous ces centres de courbure?

(Ecole Normale, 1886, i""® question.)

Le lieu cherché est la circonférence symétrique, par rapport au centre instantané, de celle des inflexions. {Cours de Cinématique, p. 81, n° S9.)

79. Une figure invariable se meut dans son plan. Trouver, à un instant donné, le lieu des points dont V accélération va passer par un point donné,

(Paris, juillet i885, i"^® question.)

Prenant pour origine le point donné, on devra avoir, pour un point quelconque du lieu cherché,

ViLLiÉ. — Comp. II.

l3o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

OU, en remplaçant les composantes de Taccélération par les valeurs trouvées (n° 5),

c'est Téquation d'un cercle passant à l'origine et par le point d'accélération nulle.

80. On suppose qv! une figure plane liée invariablement à un plan mobile P' se meut sur un plan fixe P, de telle sorte qu^un quelconque de ses points M décrive une courbe fermée enveloppant une aire plane S.

Quel est dans le plan mobile P' le lieu des points M, tels que le centre de gravité de Vaire correspondante S soit sur une droite donnée D du plan fixe P?

Démontrer que ce lieu est une conique,

(Ecole Normale, i885, i™ question.)

Soient a et 6 les coordonnées d'un point du plan P' pris comme origine des axes entraînés X et Y, ^ et j^ les coordonnées absolues d'un point du plan mobile,

AiP-h Bj--i- G = o,

l'équation de la droite D, enfin x^ et y^ les coordonnées du centre de gravité de l'aire S. On a les formules de transformation

a? == a -H X cos a — Y sin a,

j' = 6 -h X sin a H- Y cos a ;

la courbe décrite par le point M sera fermée si a et fe sont des fonctions périodiques de a admettant la période 27î, et l'on aura, quelle que soit la position de Torigine fixe par

CINÉMATIQUE. l3l

rapport à la trajectoire de M,

\ (xdy—ydx),

Sxi=^-f x{xdy—ydx),

Syi=~J y{xdy — ydx)\

or le lieu des points cherchés satisfait à l'équation

ASa?i-H BS^i -f-GS = o;

pour l'obtenir, il suffit donc de calculer les trois intégrales précédentes.

On a successivement

dx = {a' — X sina — Y cosa) daj dy — (ô'-hX cosa — Ysina)é/a,

r^'')X2H-Y2-+-X[(a-f-6')cosa-h(6-a')sina] ) J^ I -+-Y[(6 — a')cosa-(a-h6')sina]-+-(a6'— 6a')l

i MdoL-hY ^doi^l Rda,

Sxi = \ f (a + Xcosa-Ysina)(X2 + Y2-hMX + NY-i-R)<fa;

or il est évident que dans cette dernière intégrale les termes du troisième degré disparaissent, puisqu'ils ont