Un segment de droite AB de longueur invariable
se meut en restant tangent à un cercle C, tandis que
son extrémité A décrit une tangente fixe T {fig* 12)
de ce cercle. Construire le centre instantané et trouver
les deux courbes qui, dans ce mouvement, roulent
Vune sur Vautre sans glisser.
(Besançon, juillet 1884.)
Le point I de rencontre des normales à la tangente T au point A et au cercle en G est le centre instantané. Si nous menons AX perpendiculaire à AB, la figure
OEAI est un losange en vertu de l'égalité des triangles lAG, EAD; donc 01 = lA, c'est-à-dire que la base est une parabole de foyer O et de directrice DT.
Fig. 12.
La même égalité prouve que la roulante est une parabole égale à la première, de foyer A et dont la directrice OG est parallèle à AB.
Si l'on remarque que, lorsque le point A est en D, les sommets des deux paraboles coïncident au milieu de OD, on en conclut que :
Lorsqu'une parabole roule à l'extérieur d'une parabole égale, de façon que les deux sommets viennent à coïncider, le foyer de la première décrit la directrice de la seconde, et la perpendiculaire à son axe menée par son foyer reste tangente à un cercle de rayon égal au paramètre de ces paraboles, dont le centre est au foyer de la parabole fixe.
84. Une figure plane se meut sur un plan fixe y de manière que deux de ses points A e^ B glissent sur deux droites rectangulaires Ox et Oy du plan fixe et que le milieu de la droite AB = 2 / ait une vitesse constante.
CINÉMATIQUE. . l35
Trouver, pour une position donnée de la figure, le lieu des points dont V accélération tangentielle est nulle, et celui des points dont V accélération centripète est nulle,
(Gaen, novembre i885.)
La base est un cercle décrit de O comme centre avec 2 / pour rayon et la roulante, un cercle de rayon l intérieur, au premier ;^ le milieu de AB décrit le cercle de rayon /, trajectoire du centre de la roulante.
La vitesse (o/ du milieu de AB étant constante par hypothèse, il en est de même de (o ; d'ailleurs les formules {Cinématique, n*^* 54 et 55)
donnent
V = — 2/w = coiist., J = 2/;
le centre géométrique J des accélérations est donc à l'origine.
Le lieu des points d'accélération centripète nulle, ou cercle des inflexions, étant le cercle décrit sur IJ r= 10 comme diamètre, est la roulante.
Le lieu des points d'accélération tangentielle nulle est
un cercle tangent à IJ en I et de diamètre ->— r=oo; c'est
di donc la droite OL
85. Etant données deux droites OP, OR, liées à un corps solide et passant par un point fixe, on fait éprouver à ce corps une rotation directe de 90° autour de OP, suivie d^une nouvelle rotation directe de (^o^ autour de la nouvelle position occupée par OR. Déterminer les coordonnées sphériques de Vaxe de la rotation unique que Von pourrait substituer aux deux premières, ainsi que l'angle de cette rotation.
l36 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1.
On prendra OP pour axe polaire, le plan OP, OR pour origine des longitudes.
(Paris, novembre 1888, i*^® question.)
Soient {fig. i3) Tangle POR = 9, R' et F les positions de R et P après les deux rotations successives de 90" ;
Fig. i3.
le pôle I de Taxe de rotation cherché est au point de rencontre des arcs de grands cercles R'I et PI menés perpendiculairement à PP' et RR' en leurs milieux. Le triangle sphérique IPR' est isoscèle, car ses angles en P et R' sont de 45° 5 la longitude de I est donc de 45^ et sa latitude
L= PI. Or le triangle sphérique rectangle PI A
TT
donne
tangPI X cos45°= tang-
ou cotL = ^2 tang -
Enfin l'angle RIR' de la rotation, compté dans le sens direct est 2tc — 4^, à cause de l'égalité des triangles PIR, PIR', et l'on a, pour déterminer a,
cos a = sm 45° cos - = -— cos - <.
CINÉMATIQUE. 187
d'où
cos2a = cos* 1 — — sin* - •
