I.(qz — ry){q'z — r'y) = o
dont l'axe instantané de rotation est une génératrice.
Si Ton prend pour axe des z l'axe instantané de rotation à l'époque considérée et le plan zOx passant par l'accélération angulaire, il faudra faire
l38 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
l'équalion du cône précédemmenL trouvé prend la forme
très simple
r'{x^-\-y^) — p'xz — o;
les seclions de ce cône par des plans normaux à l'axe instantané sont des cercles.
87, Un corps solide étant en mou^'ement, quel est, à un instant /, le lieu géométrique des points du corps dont la vitesse a une valeur numérique donnée v,
(Paris, juillet 1888, 2* question.)
Soient, à l'instant considéré, V la vitesse des points de l'axe hélicoïdal pris pour axe des ^ et o) la vitesse angulaire de rotation autour de cet axe; les composantes de la vitesse d'un point x^ y^ z sont {Cours de Cinématique,
dx dv dz ^.
dt -^^ dt ' di
Le lieu cherché a donc pour équation
c'est un cylindre de révolution autour de l'axe hélicoïdal, ce qui était évident a priori,
88. On considère, à un moment donné, un système invariable en mouvement , La position des différents points du système est rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires dont Vun, Vaxe O^, coïncide avec Vaxe instantané de rotation; on désigne par (o la vitesse angulaire de rotation et par V la vitesse de glissement le long de cet axe.
Soient, dans ces conditions,
X ^= az -\- p^ y = bz -\- q
CINÉMATIQUE. iSq
les équations d^une droite D. Le mouvement du système, à r instant donné, peut être considéré comme résultant de la composition de deux rotations dont V une a pour axe la droite D : on demande de trouver les équations de Vaxe de rotation conjugué A.
(Paris, novembre 1884, i*^® question.)
Première méthode, — Soient X, Y, Zles coordonnées d'un point quelconque de la droite cherchée A, les composantes de la vitesse de ce point seront
v\ = — toY, py=wX., (^z=V;
le mouvement de ce point résultant de sa seule rotation autour de D, sa vitesse doit être perpendiculaire au plan qui passe par ce point et la droite D. Or ce plan a pour équation, x^ y qX, z étant les coordonnées courantes,
X — az — p y — bz — q^
d'où les équations du lieu des points X, Y, Z wY wX V
\ — bZ — q X — aZ—p a(Y — 6Z — ^) — 6(X — aZ— />)
qui donnent immédiatement
(i) aY — bX=-;
la première peut s'écrire
Z(aY — bX)^pY-qX = o OU, en tenant compte de la précédente,
(2) ^Y — ^Xh-~Z=o.
Les équations (i) et (2) représentent la droite cherchée A.
Seconde méthode, — On arrive plus rapidement à cette solution si l'on s'appuie sur cette propriété de la droite A
l4o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
d'être Tintersection des plans focaux des points de la droite D. Si l'on désigne par X, Y et Z les coordonnées courantes, le plan focal du point x^ /, z, perpendiculaire, par définition, à la vitesse de ce point, a pour équation
VocÇ^ — x) -f- VyiX —y) -f- (^z(Z — -^) = o
ou
Exprimant que le point considéré est sur la droite donnée D, l'équation précédente devient
\{az -^ p) — lL{hz-\- q)-A (Z — ^) = o,
et cette équation est satisfaite, quel que soit z^ pour tous les points de la droite représentée par les équations (i)
et (2).
89. Un corps solide est animé d^un mouvement quelconque donné. Quel est, à un instant donné, le lieu géométrique des points du corps dont les vitesses prolongées concourent en un point donné A?
Quel est le lieu géométrique formé par les droites suivant lesquelles sont dirigées ces vitesses?
(Paris, novembre 1886, r* question.)
Prenons le point donné A pour origine des axes X, Y et Z invariablement liés au corps ; le lieu des points cherchés est donné par les deux équations
ou [Cours de Cinématique, p. i5i, n® 105)
P-4-yZ — rY QH-rX — jpZ X ~ Y
R-f-jpY — ^X Pjp-HQ^-f-R /\ ■" Z ~ ^^-^qY-\-rZ'
CINÉMATIQUB. I^I
le numérateur de la dernière fraction n'est pas nul, sans quoi il y aurait simple rotation; la courbe cherchée est donc l'intersection des deux paraboloïdes hyperboliques
(P 4- ^Z - rY) (>X 4- ^ Y + rZ) = (PjD -h Q^ + Rr)X, {Q-h rX^ pZ)ipX -\- qY -i- rZ) = (F/? -H Q^ -+- Rr)Y,
qui admettent le plan normal à Taxe hélicoïdal
pX -h qY -h rZ = o
pour plan directeur commun.
Pour avoir Téquation du cône ayant pour sommet le point A et pour directrice le lieu précédemment obtenu, il est évident qu'il suffît de remplacer, dans les équations de cette courbe, les coordonnées X, Y et Z par leur quotient par une constante arbitraire A", et d'éliminer k entre les équations ainsi obtenues; or une combinaison très simple de ces équations donne la suivante
k(Pp-\-q q-^Rr) ^(P X-f-QY + RZ) ^ pX-hqY-^rZ ~ X«4-Y2-hZ« ^
d'où le cône du second degré
(Py? + Q^ -t- Rr) (X2-+- Y2-f- Z2) = (PX 4- QY 4- RZ) (/?X -f- ^ Y -h rZ).
On obtient des formules plus simples si l'on prend l'axe AZ parallèle à l'axe hélicoïdal et le plan des XZ passant par cet axe; appelant a la distance de ces deux axes, on a, pour les équations du lieu cherché,
ou
— wY (o(X — a) X Y
X2+Y2-aX,
(oYZ-hRX=o;
la première représente un cylindre circulaire droit passant par Taxe AZ et l'axe hélicoïdal, et la seconde un parabo-
loïde hyperbolique ayanl le plan des XY pour plan directeur et admettant l'axe des Z comme directrice rectiligne. Le lieu des vitesses de ces points s'obtient en formant une combinaison homogène des équations précédentes
R(Xî4- Y2)-f-aa)YZ = o.
Ces équations se déduisent, d'ailleurs, aisément de celles que nous avons obtenues précédemment en y faisant
p = o, q — Oj r = w; P := o, Q = — tua.
90. Un solide est animé du mouvement le plus gênérai; on demande de déterminer quel est, à un instant donné, le lieu des points du corps pour lesquels l^ accélération est : 1° normale ; 2° tangentielle.
Le choix d'axes le plus simple consiste à prendre pour axes (les Z l'axe hélicoïdal à l'époque considérée t et pour axe des Y la perpendiculaire commune à cet axe et à Taxe hélicoïdal à l'époque t -{- A^.
Les formules qui donnent à l'instant considéré les composantes de la vitesse et de l'accélération d'un point quelconque du solide sont (Cours de Cinématique, p. 161,
nM13)
Px = — (oY, rv^wX, t^z=V;
Yx=P'— A-'Y-w^X, YY= r'X— jo'Z — a>2Y, Yz=R'-+-yY.
1° Exprimant que l'accélération est perpendiculaire à la vitesse, on a l'équation
r'(X^-\-\^)—p'XZ-\-(^ — v\Y-\-
