VR
le lieu est un hyperboloïde qui coupe le plan des YZ sui-
CINÉMATIQUE. l4^
vant deux parallèles à OZ; selon qu'elles sont réelles ou imaginaires, l'hyperboloïde est à une ou deux nappes.
2® Les conditions pour que l'accélération soit tangentielle sont
ou
V(P'— /''Y-a>2X) + a)Y(R'4-yY) = o,
w2( X2 -f- Y2 ) H- ^' YZ — P'X = o ;
la première équation représente un cvlindre parabolique dont les génératrices sont parallèles à Taxe hélicoïdal. Ces deux surfaces ayant une génératrice commune Y = o, w^X — P'=:o, le reste de leur intersection, qui seul représente le lieu cherché, est une cubique gauche.
91 . Un solide est animé d^un mouvement hélicoïdal: trouver, à un instant donné, V équation différentielle des courbes gauches, lieu des points pour lesquels le plan osculateur et le plan focal sont confondus.
Prenant pour axe des z l'axe hélicoïdal, les coefficients directeurs du plan focal d'un point sont — (ojk? wjc et V; désignant par A, B, C ceux du plan osculateur, les courbes cherchées doivent satisfaire aux équations
A B G kdx -h'Qdy-\-Cdz
ta y (i}x V — ii)y dx -h w a? dy -h\ dz
Ad^x-}-Bd^y-\- Gd^-z
— (jjy d^x -1-0)37 d'^y -^\ d'^z Les équations différentielles cherchées sont donc
— ta y dx -\- tiix dy -\-\ dz = o,
— {j>y d^x -\-iMx d^y -\-\ d^z ^ o,
La dernière équation étant une conséquence de la pre-
l44 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
mière, ces courbes satisfont à l'unique équation différentielle
X dy — y dx H dz = o
ou, en coordonnées semi-polaires,
r^ d^ -\ dz = o.
Proposons-nous en particulier de trouver, parmi ces courbes, celles qui sont situées sur un cylindre circulaire droit d'axe O^; on a alors /' = const., donc ^ = kz-^ c; ce sont des hélices.
92. Étant donnés trois axes rectangulaires fixes, un solide se déplace de façon que deux de ses points A et B glissent sur Ox et Oy, tandis qu^ un plan lié au corps et contenant les points A e^ B passe par un point fixe H rfe Oz. Trouver Vaxe hélicoïdal du mouvement pour une position donnée de AB.
Soient AB = a, OH = A {.fig- i4)- On peut évidem-
Fig. 14.
ment passer d'une position du solide à sa situation infiniment voisine par deux rotations, l'une autour d'une parallèle CD à O^ menée par le point C, quatrième sommet
CINÉMATIQUE. l45
du rectangle BOAC, et l'autre autour de BA. Si (p désigne l'angle de BA avec O^, et ^ Tangle compris entre o et
-du plan BAH avec le plan des xy, la rotation autour de
Ai
CD sera — -r-? et celle autour de BA, — -j^»
Pour trouver les composantes de la vitesse d'un point quelconque du solide, remarquons que, si^o> JKo etzo sont les coordonnées d'un point arbitrairement choisi d'un axe de rotation ajant pour composantes/?, q et r, les composantes de la vitesse due à cette rotation sont
Vy — r(x — Xq) — p{z — Zo), ^z = pir — ro) — q (ce — xo);
appliquant aux deux rotations considérées, on a, pour la première,
Xq= acos(f, Xo=«sincp, zq = Oy
et, pour la seconde,
d'où, pour les composantes cherchées,
Yy= z^coscp— ^(^ - «coscp),
