V- = — y -jj coscp — -T-i- sincp(a? — a coscp

Écrivant que cette vitesse est parallèle à l'axe hélicoïdal

ViLLiÉ. — Comp. II. 10

l46 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

dont les composantes sont

d'^ d^ . â?cp

;,=-^cos<p, ?=5js.n<p, r=-^,

on a les équations de la droite cherchée. Il reste toutefois à éliminer le rapport •— qui figure dans ces équations; or Téquation du plan BAH est

acoscp asincp h

d'où

, asin9C0S<&

v/A2 -H a* sin2 cp cos^cp

cette relation étant différentiée donne ^ et permet d'obtenir les équations de Taxe hélicoïdal en fonction de la seule variable cp.

93. Un cercle se meut de façon à rester tangent à une droite Oz sur laquelle il roule, le point de contact se déplaçant d'un mouvement uniforme, tandis que le plan du cercle tourne avec une vitesse angulaire constante autour de Oz; quelles sont la vitesse et V accélération d^ un point de la circonférence?

Lieux des axes instantanés dans V espace et par rapport à des axes entraînés avec le cercle?

(Gaen, novembre 1887, i""* question.)

Soient iù la vitesse de rotation du cercle, (Oj celle de son plan et cp l'angle que fait, à l'époque t, le rayon du point considéré M avec celui du point de contact I; si l'on prend pour axe des x la position initiale de ce dernier rayon, les coordonnées semi-polaires du point M sont

z =z a{oit — sincp), r •= a{\ — coscp), ij; = wjf.

CINÉMATIQUE. l!\'J

On en déduit les trois composantes de la vitesse suivant l'axe des z, le rayon r et la perpendiculaire au plan du

cercle

dz , . dr ,

— -=aw(i — coscp), -7- = awsincp,

d'où

^dt =^^i(i-"<^^scp);

V=2asin-4/w2-i-w? sin« ^ •

Les composantes de l'accélération, prises dans le même ordre, sont

d^z dW

= atx}^ sino,

-^ — r^ =aw2coscp — awî(i — coscp),

r dt\ dt I ^ * '

et l'accélération,

Y = al / I uj2-H 2 0)1 sin^ i- J -i- 2w2a)5 sin^cp»

Le mouvement élémentaire du cercle , à un instant donné, résulte de deux rotations, l'une (o< autour de Oz, l'autre w menée par le point de contact I du cercle, normalement à son plan. Le mouvement absolu est donc une rotation sans glissement, autour d'un axe Q = y/io^-f- (J^, situé dans un plan normal au rayon du point I et faisant avec Oz un angle constant. Il en résulte que le lieu des axes centraux, relativement à des axes entraînés avec le cercle, est un hyperboloïde de révolution ayant pour cercle de gorge le cercle donné ; le lieu de ces axes dans l'espace est une surface réglée dont la génératrice coupe Oz sous

l48 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — CINÉMATIQUE.

un angle constant et intercepte sur cette droite une longueur abit, proportionnelle à l'angle ^ = tùit que son plan azimutal fait avec le plan zOy] c'est une surface de vis à filet triangulaire sur laquelle l'hyperboloïde roule sans glissement.

MOUVEMENT D*UN POINT LIBRE. l49