CHAPITRE IL
94. Un point matériel soumis à V action d'un centre O, qui V attire proportionnellement à la distance, part d^un point A, avec une vitesse donnée Vq.
Quelle direction faut-il attribuer à cette vitesse pour que la trajectoire passe par un point donné B? Le point A restant fixe et le point B se déplaçant , le problème est-il toujours possible?
(Paris, juillet 1887, i" question.)
Les équations différentielles du mouvement sont
d'où
d^x dt^
d^y dt^ ~
a sin
^t ■+- a'cosfx^,
P sin
\t.t-¥- P'cosfjL^;
l'équation de la trajectoire est donc
qui représente une ellipse.
Si Ton prend pour axe des x la droite OA et que Ton appelle (p l'angle de la vitesse Vq avec cet axe et a la distance OA, on a, en tenant compte des données initiales,
a'=a, P'=o; a{ji = ^ocoscp, pjji = pq sincp,
l5o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
et réquation de la trajectoire est
a* [i^y^ -+- ^5 (^^ ^^* ? — a? sin cp )2 = «2 ç; J sin* cp ; pour qu'elle passe par le point donné B(;r,y), il faut que
Le problème n'est donc possible que si le point B est intérieur à Tellipse
dont le grand axe est dirigé suivant OA, et il admet alors deux solutions; il n'y en a qu'une si B est sur cette ellipse ou sur la droite OA; toutefois, dans ce dernier cas, il en admet une infinité si B coïncide avec A ou lui est diamétralement opposé.
95. Etudier le mouvement d^un point matériel absolument libre dans le plan des xy et soumis à V action d^ une force émanant de V origine et ayant pour expression
X et y étant les coordonnées rectangulaires du point, r sa distance à C origine, et [à un facteur constant,
(Paris, juillet i886, i" question.)
La force étant comptée dans le sens attractif, la formule de Binet donne, pour l'équation différentielle de la trajectoire,
(a;2 ^2)2 /'2(cos2e — sin2e)2
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. l5l
d'où l'équation linéaire du second ordre
L'intégrale générale de cette équation, sans second membre, est
- = acosO -i- 6 sinO; r
l'application des méthodes générales conduirait à l'intégrale de l'équation avec second membre; mais il est plus simple d'essayer la solution particulière
r On trouve, en effet,
- = A:(cos26)*.
l'équation de la trajectoire est donc
- = acos6 -H 6 sinô — -^i/cos26
ou, en coordonnées rectangulaires,
ax -[- by — 1 = ^ yjx'^ —y^ \ elle représente une courbe du second degré,
f a' — ^ ja;*^- (b^-^ ~- jy^-H labxy — 'i{ax -\- by)-^i — o,
comprise entre les droites j^ = d= x,
La vitesse v du mobile est donnée par la formule
— a'^-^b'*'-\ — T-^ — jr H ^ (&sin6 — a cos6);
c*cos26 cVcos-2e
j52 deuxième partie. — CHAPITRE H.
elle définit entièrement le mouvement, puisque la trajectoire est toujours parcourue dans le même sens.
Pour déterminer les constantes a et 6, nous prendrons comme données initiales les valeurs de r et ç^ pour 6 = 0; on trouve alors
d'ailleurs
c = tqVo sina.
Enfin la nature de la trajectoire dépend du signe de l'expression
c* rj \sin'^a rovlsin^ct
96. Un point matériel M de masse m est attiré vers un centre fixe O avec une intensité égale à
mab^{\-¥- 5e-26)
a et b désignant deux longueurs données, r étant la distance OM et 6 V angle que fait ce rayon vecteur avec le rayon vecteur initial OMq, Trouver la trajectoire du point M. Calculer la position du mobile sur sa trajectoire à une époque quelconque.
On supposera la distance initiale OMq égale à a et la vitesse initiale égale à ib. En outre, celte vitesse sera supposée inclinée de 45® sur le rayon vecteur initial OMq.
(Nancy, juillet i885.)
La formule de Binet donne
r ^, c = ab^i\
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. l53
d'où
— nr- H — = > - = A cos 6 4- B sin H •
Pour 8 = 0, r ^^ a^ donc A = o ; de plus
r dr I T> A ^"^^
-iK" = r-m = = BcosO — :
a0 r^rfO rtangv a
or, pour 8 =: o, tang v = i et r =: a, ce qui entraîne B = o ;
on a donc
aa lae^
La trajectoire est une spirale asjmptotique au pôle et au cercle de rayon r= a a.
Pour obtenir la loi du mouvement du mobile, nous pouvons nous servir de l'équation des aires
dt ^
nous avons trouvé
-dF = "^''' d'où ]a relation entre r et ^
ab s/'idt = r^ d^ = ae^^ dr = -^^1^,
ia — /•
que l'on peut écrire
dr
b^i dt = — dr -\-ia
ia
et, en intégrant et tenant compte des données initiales,
97. On considère le solide formé par une matière homogène de densité connue, remplissant V espace
l54 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
compris entre deux sphères non concentriques dont l'une est intérieure à Vautre. On demande de calculer l' attraction exercée par ce solide sur un point matériel, de masse et de position connues, en supposant que V attraction agisse d"^ après la loi de Newton,
On examinera les diverses positions que le point peut avoir par rapport au solide,
(Paris, novembre i885, i'** question.) Soient
O et O' les centres des sphères extérieure et intérieure ;
/' et r' leurs rayons respectifs;
[JL ]a densité de la matière;
/le coefficient de l'attraction universelle;
m la masse du point attiré M;
x^ y eV z ses coordonnées;
p et p' ses distances aux points O et O'.
L'action du- solide peut être considérée comme la différence géométrique des actions dues aux sphères pleines O et O^ Cela posé, le point M peut occuper trois positions :
I** Le point est extérieur au solide, — Les sphères considérées attirent le point M comme si leurs masses étaient condensées, la première en O, la seconde en O'; si donc on prend O comme origine et 00'= a pour axe des x et que Ton pose
les composantes de l'action cherchée seront
Z =-kz[\
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. 1 55
2** Le point fait partie de la masse attirante, — L'action de la sphère extérieure étant la même que celle d'une sphère de rayon p, on a
Z = — kz ( i — -r-
3" Le point est dans la cavité, — Les actions des sphères étant les mêmes que celles de sphères de rayons p et p', on a simplement
La force d'attraction est constante, parallèle à la ligne des centres et dirigée dans le sens O'O.
98. Un point matériel libre est soumis à l'action de deux forces : Ihine est une attraction vers l'origine O des coordonnées, inversement proportionnelle au cube de la distance et dont la valeur à V unité de distance est [Ji; Vautre, parallèle àOz^ est de sens contraire à la composante de la première suivant cet axe et double de cette composante.
On imagine deux hyperboloïdes équilatères de centre O, de révolution autour de O z, passant Vun par le mobile. Vautre par V extrémité d'une droite égale et parallèle à la vitesse menée par V origine O, et Von demande :
I** Comment varient les axes de ces deux surfaces;
2** De réduire la détermination du mouvement du pointa l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre;
3° D'intégrer cette équation et d'étudier le mouve-
l56 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ment dans le cas particulier oti le mobile placé à l'origine du temps sur le plan zx reçoit parallèlement
à Oy une vitesse égale au quotient rfe i/ — par sa distance po à l'origine. On examinera en particulier comment varient la direction de la force, la grandeur de la vitesse et quelle est la nature de la trajectoire,
(Rennes, juillet i883.)
I** Les équations de Maclaurin nous donnent, en appelant p la distance OM,
, ^ d'^x \kx d'^y iky d^z \i.z
^ ^ dt^ p* dt^ p* dt^ p*
Les deux hyperboloïdes considérés ont pour équations
x^^^yi — z^= a', x'^-^y^- — z'^= b^,
a et b étant réels ou imaginaires suivant que ces hyperboloïdes sont à une ou deux nappes; or des équations du mouvement on déduit
/dx d^.v dy d^y dz d'^z\ V- d^ \di 'dt^ "*~ ~dt 'di^ '^'di ~dt^ ) ~~"^^ di'
dérivant Téquation du second hyperboloïde, on a
, dx' , dy' , dz' rdb ^~dt'^^~~^'dt~ di'
d'où
mb db ^=^ — [Ji „
rfp
et, en intégrant,
/?ip*
Les équations du mouvement donnent encore
V dt^ -^ dt^ df^ ) p*'
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. 167
d'ailleurs, si Ton dérive deux fois l'équation du premier hyperboloïde, on obtient
d^x (Py d^z ,, d I da\
dt^ -^ dt^ dt^ dt\ dt I
d'où
d / da\ "dt
et
Les équations (2) et (3) montrent comment varient les axes des deux hyperboloïdes.
1^ Les trois équations du mouvement en coordonnées semi-polaires sont
h% — ^^^-^ ^^ û^62— dz^- |x
(4) { ~~ di^ ~ "^ m(r2-H^2)'
dt-""'
elles sont du premier ordre et, si Ton élimine, soit z et 8, soit ret 0, on obtient les équations du premier ordre
~ m(2r2— Gf2 2G'^— G")'
