J-HC^ + CV
z2-+-Gi2|^G7 i G" 22^- G^2|2G'«H-G" \«i^/
Si Ton sait intégrer la première, par exemple, z sera immédiatement connu, et la recherche de 6 ramenée à une quadrature.
l58 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE H.
3° Déterminons les constantes à Taide des données initiales : on a
or la parenthèse se réduit à
yi =
dt J Q ^ mp2 donc C = o; on a, par suite,
da a —r = ti .
dt
/ da\ l dx dy dz\
d'où G' :^ o; a est constant, Thyperboloïde passant par le point mobile ne varie pas.
On a encore
C''=al = rl-^, c = roV(
poV ^'
la première des équations (5) devient alors
dr^ dr^ rj |JL dt^ jx
ou
^ dt^ m^ \Po'
et Ton en tire
pi, 2r2 — al
posant r'=:Uy le problème est ramené aux intégrales elliptiques.
Pour avoir l'équation de la trajectoire, nous partirons
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. iSq
de la loi des aires
poV '^
- '''TV (r2-aa)(r2-r§) To t/a / lu — a\
Tq du
^J{u — al){u — r\){iu — a\)
r^a\ du %u\J{u — cl\){u — r\){%u — a\y
du
du
Pour ramener ces intégrales à la forme canonique, remarquons que, les racines de la quantité sous le radical étant rangées par ordre de grandeur croissante, il faut effectuer le changement de variable
posant alors
on arrive à
f « Ci
ir\ — al
^\l%rl — a% f" dv
'l - al ^ r d^
i r"" dv
l6o DEtXlkMK PARTIE. — CHAPITRE II. — MOUVEMENT ETC.
La même transformation conduit à la formule
si l'on pose
ç = snw.
Les coefficients directeurs de la force agissant sur le point matériel étant x, y et — z, cette force est normale à rhyperboloïde sur lequel se trouve le point, à l'instant considéré. Or, dans le cas particulier dont il s'agit, cet hjperboloïde ne varie pas ; donc la trajectoire est une ligne géodésique de cette surface.
Enfin, la force étant constamment normale à la trajectoire, la vitesse est constante, en vertu du théorème du travail. Il est, d'ailleurs, aisé de vérifier ce résultat; on a
^ -^ ^^\dt) m p'^^^\dtj p2 ^^\dt) '
or la seconde des équations (5) devient, dans le cas particulier qui nous occupe,
^2 -h «2 dt^ p2 '
d'où
et, par suile,
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE COURBE FJXE. j6i
