MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE

99. Détermination de la courbe tautochrone pour un point soumis à V unique action de son poids,

(Paris, juillet 1886, 2* question.)

Si nous développons sur un plan le cylindre vertical passant par cette courbe, il est évident que la transformée jouira de la même propriété que la courbe plie-même. Il suffit donc de rechercher la courbe tautochrone plane.

Prenons pour origine le point O de la courbe où le point pesant doit arriver dans le temps ï, quel que soit le point Mo de la courbe, d'où il est parti sans vitesse initiale, et rapportons la courbe à deux axes rectangulaires dont l'un Oy est dirigé suivant la verticale ascendante; on aura, par le théorème des forces vives,

d'où

)/igdl= 7^^^^^^

\/li—y

en posant

11 faut déterminer /(j^), de manière que le second membre

ViLLiÉ. — Comp. II. II

de l'équation qui donne T soit indépendant de h. Posons y =z hu : nous aurons

^ r' f'(hu)s/

la dérivée -yr devra être nulle ; or on a

an ^

,/i^g ^j'-hurihuy./'^^.

dy.

Cette intégrale ne peut être nulle, quel que soit A, que si

sans quoi Ton pourrait toujours prendre A assez petit pour que l'élément de l'intégrale conservât un signe constant entre o et A; intégrant cette équation, on a

k désignant une constante; on tire de là

dx = i/^^^ dr,

ce qui est l'équation différentielle d'une cjcloïde ayant son sommet à l'origine et son axe dirigé suivant la verticale ascendante.

On peut déterminer la constante k en fonction de T^ on

k a, en rem plaçant /'(j>^) par -- dans l'expression de T,

k r^' dy

'i'gj. ^y{h—y)