MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE COURBE FIXE

OU, en faisant y =r A si n' 9,

Le rayon du cercle générateur de la cycloïde est ^-^«

100. Un point matériel pesant est suspendu à un point fixe O, par un fil flexible^ inextensible et sans masse, qui se meut dans un plan vertical, en s^ enroulant sur une courbe fixe, telle que la tension du fil soit constante. Cette courbe passe par le point de suspension et y a pour tangente la verticale. On donne la longueur l du fil et la vitesse k du pendule au point le plus bas, troui^er la loi du moui^ement et la forme

de la courbe,

(Agrégation, 1841.)

Soient OM la courbe cherchée, A'M' la développante

Fig. i5.

de celte courbe décrite par le point matériel M' (fig* i5), p le rayon de courbure M'M de cette développante, r la

l64 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

vitesse de M' et enfin T la tension constante du fil; on a, en prenant pour axe des y la verticale descendante, les deux équations

(1) \9^ds'

d'où, en égalant les deux valeurs de ^*,

D'ailleurs, T est connu; car, étant constant, il est égal à sa valeur au départ

de plus,

Substituant dans Téquatlon (2), on a Téquation linéaire en y regardé comme fonction de s

(3) Zg{l-s)^ + igy = T{l-s) + -igl-k'^, dont l'intégrale générale est

(4) r = -?(^-*) + G(/-*)^-;^-;/; faisant 5 = pour jk = o, on a

Cl = ■ •

Pour discuter la forme de la courbe, nous partirons de l'expression

qui nous montre que le cosinus directeur de l'angle de la

MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE COURBE FIXE. l65

tangente à la courbe avec O^ va en décroissant quand s croît, et, comme d'ailleurs il ne peut être inférieur à — i, s a une valeur maximum inférieure à / pour laquelle la courbe a un point d'arrêt à tangente verticale; le fil ne se déroule donc pas complètement. Enfin la vitesse

va constamment en diminuant, mais n'est pas nulle au point d'arrêt A.

Il est évident que la développante O'M'A' est la courbe sur laquelle le point pesant est obligé de se mouvoir pour y exercer une pression constante, seulement cette courbe doit être complétée par la branche symétrique relativement à la verticale de A' et par une infinité de boucles identiques.

Ce dernier problème comporterait encore d'autres solutions correspondant au cas où la courbe tournerait en O' sa concavité vers lesj?^ positifs; on les obtiendrait en changeant le signe de g dans la première des équations (i).

101. Un mobile assujetti à décrire une courbe représentée en coordonnées polaires par V équation

r = - (i-h cos6)

est soumis à l'action d'une force répulsive constante ik^a émanant du pôle. Il est placé en un point B de cette courbe, sans vitesse initiale. On demande :

I® U étudier le mouvement du point sur la courbe;

1^ De montrer que le mobile mettra toujours le même temps pour atteindre le sommet A de cette courbe y quel que soit le point de départ B;

3° De calculer la pression du point sur la courbe,

(Toulouse, juillet i883.

l66 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

1** La trajectoire est un limaçon de Pascal. ,La loi du mouvement du point est fournie par Féquation des forces vives

= 2/ 2k^adr = ik^ a{r — ro)]

dt^ dt^

d'ailleurs, l'équation de la courbe donne

6 = arc cos ( i

^6 I dr

'^di" ^r{a — r) ^^ '

d'où l'équation

ik dt = - ?

qui exige r >> Vq ou que r aille en croissant ; l'intégrale de cette équation s'obtient en posant r — /'o= ^*> d'où

ce cc^ kt = arc sin • > = sin* A:^

et enfin

r = ro-+- (a — ro) sin^A:^ = a sin^kt -+• fq cos^kt.

On peut encore calculer 6 en fonction de ^ ; on a

r — To = a ( sm2 sin^ - ;

d'où Féquation

-5- cos - =- — 2 A 4 / sin2 sm' -

dt 2 y 1 2

MOUVEMENT d'uN POINT SOR UNE COURBE FIXE. 167

et, en intégrant,

.6 . ôo 1.

sin- = sin — cosa:/.

2^ Au sommet A, /• = a, sinA"T = i ; le temps T = — r ,

employé parle mobile pour arriver au sommet de la courbe, est indépendant de Tq.

Pour ^ = T ' '' = ''0 î le mobile prend une position symétrique de sa position initiale par rapport à O^ ; en ce

dr >

point -T- redevient nul, et les oscillations du mobile sont

isochrones et symétriques par rapport à Taxe polaire .

3"* Soient N la pression par unité de masse du point sur la courbe, comptée extérieurement à la courbe, R le rayon de courbure et V l'angle de la tangente avec le rayon vecteur; on a

j3 = N — 2A:2asinV.

sinV =

rfe»

rdr 2 / —

a^T-sinV) j

d'où enfin

102. Démontrer que de toutes les courbes planes qui joignent deux points donnés A et B, celle qui sera parcourue dans le moins de temps possible par un point matériel soumis à V action d^une force donnée jouit de cette propriété que la composante normale de la force est égale à la force centrifuge ,

l68 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

Application. — Rechercher la forme de la courbe brachistochrone lorsque la force qui sollicite le mobile émane d^un point fixe, est répulsive et varie proportionnellement au carré de la distance. Etudier toutes les circonstances du mouvement sur cette courbe et calculer la pression du mobile sur la trajectoire ^ dans le cas particulier où le centre de répulsion serait situé sur

la courbe elle-même.

(Toulouse, novembre i885.)

Le problème suppose qu'il y a fonction de la force F, c'est-à-dire que ses composantes sont

le théorème des forces vives donne, dans ce cas,

de plus, la force qui sollicite le point est normale à la

courbe de niveau

f(x,y)^ const.,

qui passe au point considéré.

On sait encore que, si le plan est séparé par une courbe C en deux régions dans lesquelles le mobile ait des vitesses constantes, la ligne brisée qu'il d^vra suivre pour aller, dans un temps minimum, d'un point de la première région à un point de la seconde doit couper la courbe G en un point, tel que les sinus des angles d'incidence et de transmission soient proportionnels aux vitesses. Si donc on imagine une infinité de courbes de niveau et si i est l'angle de la trajectoire avec la normale à l'une quelconque d'entre elles, on devra avoir

sini ^in( i -^ di) cos idi p i^ -^ dv ~ dv '

MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE COURBE FIXE. 169

on en conclut que / et ç? varient dans le même sens : la courbe tourne donc sa convexité vers la région où {> croît. Mettons celte équation sous la forme

i di> . di

ç^ dt ^^^^ ~" Vdi

et appliquons-la à une infinité de cordes infiniment petites du second ordre, formant à la limite un arc infiniment petit du premier ordre de la courbe cherchée : le premier membre sera sensiblement constant, et l'on pourra écrire

I <^p .S di

Or Yidi est Tangle de contingence de la courbe, et

^ç dt =^ ds ; d'où

dv . fî

mais, la force motrice F étant normale à la courbe de niveau, i est Tangle de F avec la brachistochrone, et l'on a

dv F

cosi:

dt m la condition précédente devient donc

F sin i 1:= /?i — .

D'ailleurs, Fsin« est la projection de F sur le prolongement du rayon de courbure, car la force F est dans la région où v croît, c'est-à-dire du côté de la convexité de la courbe; on en déduit que la force centrifuge est égale à la projection de la force extérieure sur la normale ; autrement dit, la pression exercée par le mobile sur la brachistochrone est double de la composante normale de la force F.

Dans le cas de la pesanteur, les courbes de niveau sont

ïyO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IIÏ.

des droites horizontales, i est Tangle de la courbe avec Oy; exprimant alors que est constant, on a, en prenant yQ= o et faisant ^q = o.

dx f dy /c* — ^^3^

~" c* dx \

^/^^ ds c dx \ igy

ce qui caractérise une cycloïde dont la tangente au point de départ est verticale.

Application, — F = m/i^7-^; d'où l'équation

n'^r^ sini = ~; K

^ r dr . . p

R = — ,— > smt = — :

dp r

on a donc, entre p et r, la relation

p v^ 1 r^ — a^ dp

d'où

r R/iV2 3 r^ r dr

2 do 3 r*^ é/a*

p ds = r^ d^j

kr'^db^={r^—a^){dr^-hr^db^\

de "• • ' '•'-'''

r3 -h kr^ -h a^

Le trinôme — r^-\- kr^-h a^, n'ayant, quel que soit le signe de k, qu'une seule variation, n'a qu'une racine positive 7*1^ a suivant que A"^o, et r ne peut varier qu'entre

MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE COURBE FIXE. l']t

a et /•<. La courbe est tangente au cercle /• = r^ et normale au cercle r =^ a.

Si le centre de répulsion est sur la courbe, on a a = o;

d'où

d^ = — , /' = A:sin' - = -(i — cosô),

la trajectoire est un limaçon de Pascal ayant son point de rebroussement à l'origine et l'axe polaire pour tangente en ce point; la vitesse du point sur la courbe croît avec /*, elle est maximum au sommet.

La pression, double de la composante normale, a pour expression

quantité toujours réelle ; car, si k est négatif, il en est de même de r.