MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE FIXE OU SUR UNE COURBE MOBILE

103. Un point matériel se meut sur une sphère; il est sollicité par une force répulsive inversement proportionnelle au cube de la distance du point au pôle O situé sur la sphère j d^oii émane la force en question; étudier le mouvement du point et la réaction de la surface,

(Toulouse, juillet 1884.)

L'équation de la sphère est, en coordonnées cylindriques,

le principe des aires projetées et celui des forces vives donnent les deux équations

r^- — =z c = Tot^oCOsA, \ représentant l'angle de Vq avec le parallèle initial,

dt''

Jp, P' P' ?5 '-i^-

Eliminant /• et (i entre ces trois équations, on a la rela-

MOUVEMENT D'uN POINT SUR UNE SUKFACE OU SUR UNE COURBE. (78

tion entre z et t

, j a\ji.a dz

a dz

en appelant ^f etZo les racines du trinôme sous le radical.

On voit immédiatement que ces racines sont positives, et

il est aisé de reconnaître que la plus grande 52<! 2a; en

effet, si Ton fait z=^ia dans le trinôme sous le radical,

le résultat de la substitution — aac^ est négatif, ce qui

montre que z^=ia est en dehors des racines, et comme

Z\ est nécessairement inférieur à 2a, il en est de même

de Z'2. Le mobile oscille donc entre les parallèles Zx et z^-,

et, si l'on compte le temps à partir du moment où il touche

le parallèle inférieur Z\y on aura, par un calcul analogue à

celui du n° 101,

^ ht . ^ ht

z = Zi C0S2 \- Z9 sin2 — .

ia ia

Pour déterminer la trajectoire, on a la relation entre z

ete

,^ c dt , ac dz

z{2a — z) h z{ia — z)y/{z2 — z){z - zi)

qui devient, en posant y/^o — ^ = '^ V^^^ ^* '

lac (t -h u^) du

~~ ~^ h (Zi-^ ZiU^)[ia — Z2-h{2a — Zi)u^\

dont rintégrale est

^ lac /a a3 u\

expression dans laquelle

Enfin, si nous appelons N la réaction de la sphère rapportée à l'unité de masse et comptée à l'intérieur de la surface, on a

'dF ~ ^ p ~~ â'

d-z \j.^ z ^z — a ^ dt^ ~ p3 p a '

or, en dérivant deux fois Téquation de la sphère, on a

dx"^ -4- dy^- -I- dz'^ d^ x d^y , , d^ z

dt^ dt^ -^ de- ^ dt'^

OU

d'ailleurs

d'où

p2= ^^(^x^^^yi^z^ — az)

a ^ ■• \az

p2= iî- /i2;

o.az

A2 ii2

104-. On considère un axe vertical Oz autour duquel tourne, diaprés une loi déterminée , mais inconnue, un tube rectiligne OA. de section infiniment petite, qui rencontre Vaxe fixe en O et fait avec lui un angle constant 6. Dans V intérieur du tube peut se mouvoir sans frottement un point matériel pesant; on demande :

i" Quelles doivent être, dUtne part, la loi de rotation du tube, de Vautre les circonstances initiales, pour que la distance p du point M au point O soit à chaque instant donnée par la formule