MOUVEMENT D*UN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE
2® D^ étudier le mouvement du point pesant dans le tube, en conservant pour le mouvement du tube la loi précédemment trouvée, sans faire d^ ailleurs aucune hypothèse sur les circonstances initiales.
(Agrégation, 1879.)
1° Considérons un système d'axes mobiles dont OA fait partie, tournant autour de O^ avec la vitesse angulaire inconnue -—', l'accélération centrifuge composée du
point M étant perpendiculaire au plan ^OA, et la réaction du tube étant normale, on a, pour l'expression de l'accélération relative suivant OA,
^^^cos6H-psm2e^,
formule qu'on pourrait d'ailleurs écrire immédiatement en se reportant aux composantes de l'accélération en coordonnées polaires {Traité de Cinématique, n^ 23). Or de la loi donnée du mouvement relatif on tire
d'où
dt V
2Â:h-^cosÔ I
Àrsin^ô t-\-<3.
\ k sin
cos6, ^ -H a
\c\cr ~
en faisant pour ^ = o, tj;o=o; c'est la loi de rotation cherchée.
Quant aux circonstances initiales du mouvement, elles devront être les suivantes :
^^ ' \dtl^ ' \dtl^ a\/ /i-sin^e
Enfin, la projection sur le plan des xy de la Irajec-
loire du point M s'obtient en éliminant t entre A et r = p sinô = A" sinÔ(^ + a)^ ; c'est donc une spirale logarithmique
i>." Si l'on remplace, dans l'équation du mouvement relatif, -^ par la valeur précédemment obtenue, on a, pour déterminer p,
c'est une équation linéaire à coefficients variables de forme classique, que l'on intègre en* posant
effectuant le changement de variable, on a
d^o dp 2k-hgcos(\ . .
du^ du ^ k ^ '
d'où
gcosO
c'est la formule cherchée.
105. Un point matériel non pesant^ assujetti à rester sans frottement sur une parabole de paramètre p^ qui tourne uniformément autour de son axe açec la vitesse angulaire o>, est attiré vers le foyer par une force donnée J\h^p proportionnelle au rayon vecteur p. On demande le mouvement du point sur la parabole en supposant que la vitesse initiale au sommet est
( Besançon, juillet i883.)
Le mouvement du point nous sera donné par le prin-
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. 177
cipe des forces vives appliqué au mouvement relatif. Le travail élémentaire de la force attractive est — ^h^pdp^ et celui de la force centrifuge {ù^rdr, d'où l'équation
V'^= WÎ/-^ — 4^2p2^conSt. -= a>2(r2-h/?2) 4A2p2;
on peut en déduire la relation entre r et le temps t. L'équation de la parabole étant
on a
pz = J 2 -h
r2= 2pz, PY /r^^p^Y
et
,2 dr^-hdz^ dr^
dt^ dt^
d'où l'équation
dr^ r^-T- p^ ,, , , A2
on en tire
— =jD2(a)2— A2)— A2r2= P? — ^2^2
et, en intégrant,
r = — sin ht, n
La valeur maximum de /• est -^ ? et la durée d'une oscil-
lation complète du mobile de part et d'autre du sommet
T = -T- • Enfin l'expression de p en fonction du temps est
cos^/U -h ^2 sin2 A^ ) .
106. Un point pesant M est assujetti à demeurer sur une droite D qui tourne uniformément autour d'un axe vertical A. On demande d^ étudier le mouvement
ViLLiÉ. — Comp, II. 12
du point mobile sur la droite D, connaissant sa vitesse initiale u dans ce mouvement relatifs ainsi que sa distance initiale a au pied I sur D de la perpendiculaire commune à Vaxe vertical K et à cette droite D. Discuter le mouvement et dire comment varie la pression que le point mobile exerce sur la droite.
(Besançon, juillet 1884.)
Prenons la droite A pour axe des <3, et sa perpendiculaire commune avec D, à l'instant initial, pour axe des x, puis désignons par y l'angle constant des droites A et D, et par p la distance parcourue par le mobile sur la droite D au temps t^ comptée à partir de I, dans le sens ascendant.
Nous appliquerons les équations de Lagrange : on a
X = a cos w^-T-psino)^ sin y, y ^^ a sin ^t — p costo^ sin y,
z — p cos y;
d'où
3?' = — ao) sin tof -h p' sin (o^ siny -h h^^ cosw^ sin y, y = ata cosw^ — p' cos coi sin y -H wp sin toi sin y, z' = p' cosyj
T= ^mp2=:Am(a7'2-hy2-i-^'î) = Ym(a2a)î-h p'^-i- (o'p^sin'Y — latap' sin y),
SU = — mg cosY Sp,
et enfin l'équation
po)' sîn2 Y -h g cosY = o,
dt^
à laquelle on arrive immédiatement en étudiant le mouvement relatif du point; on en tire
^ = co sinY( A^^"'"^- Be-^'^'"^),
