MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. I

formules dans lesquelles

0) smY

(M sin

Pour discuter les circonstances du mouvement, nous distinguerons les cas de u positif ou négatif.

i" z/ >> o ou A >> B. — Si A >> o, -j- est constamment

positif et p croît indéfiniment; si A< o, p commence par croître et décroît ensuite jusqu'à — oo.

2° w < o ou A << B. — Si A>> o, -7^» d'abord négatif,

passe ensuite par zéro, et p croît jusqu'à -h oo; si A<; o, p va constamment en décroissant.

Nous calculerons les composantes de la réaction normale N par unité de masse, exercée par la droite D sur le

Fig. 16.

Oî

point M, en étudiant le mouvement relatif du point sous l'influence de cette réaction, de la pesanteur et des forces d'inertie d'entraînement et centrifuge composée. Prenons

l8o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

pour axes entraînés {fig> i6) la droite considérée IZ, sa plus courte dislance OIX à l'axe de rotation et une perpendiculaire lY à leur plan. La pesanteur a pour projections sur IX et lYzéro et — ^siny; la force centrifuge (co^r) = (w2 X Gai) + (a)2 x /iM) a pour projection w^a et — (o^p sinycosy; enfin, la force centrifuge composée est parallèle à XI et égale à iiù ^siny. On a donc les équations

N\ -i- 0)2 a — 2 (0 -,'; sin v = o,

dt •

Ny — ^ sin Y — 0)* p sin y cos Y = o,

qui déterminent la réaction cherchée; elles montrent que Nx et Ny varient proportionnellement à ~ et à p.

107. On considère Vliyperboloïde de révolution engendré par la rotation d'une droite AB autour d'un axe fixe Oz qui ne la rencontre pas, La plus courte distance OA des deux droites est égale à a. La direction de K& fait avec Oz un angle de ^h°.

Un point matériel M non pesant, de masse égale à l'unité, se meut sans frottement sur cet hyperboloïde sous l'action d'une force constamment dirigée vers le point O et proportionnelle à la distance. On supposera que l'attraction à l'unité de distance est égale à k^.

On demande d'étudier le mouvement du point M dans le cas particulier où les données initiales sont les suivantes : i® dans sa position initiale, le point M est en A; a® la vitesse initiale est égale à ka\^i\ 3^ la direction de la vitesse initiale, qui est d'ailleurs nécessairement dans le plan tangent en A, fait un angle de 6o** avec Os. On demande aussi de calculer la pression et de déduire de ce calcul une observation sur la nature de la trajectoire.

MOUVEMENT D'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. l8l

Si Von définissait le mouvement du point M en considérant ce point comme assujetti à se mouvoir sur la génératrice AB pendant que cette génératrice tourne autour de Oz,, quel serait le mouvement relatif de ce point et quelle serait^ à chaque instant, la vitesse angulaire de rotation de AB autour de Ozl

(Marseille, juillet i883.)

L'équation de l'hyperboloïde est

en y joignant celles qui sont fournies par le principe des aires

{'!) 7-2 — = apo cos 3o° r= ka^ 4 / -

et celui des forces vives

on a les équations nécessaires pour déterminer 5, r et 6 en fonction de t.

En particulier, Téquation qui donne z devient, après suppression du facteur a^ + iz^^

dont l'intégrale est

(4) z = -—%\nkt\

sj'i

le point se meut entre deux parallèles situés de part et d'autre du parallèle initial, à la distance -=,> La durée

d'une oscillation est

l82 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

On a encore

ki/ -dt

ki/ -dt

co%^ kt