h \ s'm^ kt I 4- f idiïiQ'^ kt ' d'où
(6) tangO = i / - tangA:^
La réaction N de la surface s'obtient aisément en calculant la composante de l'accélération suivant Oz,
dt^ p'
or -;— = — k^z. donc N = o. La réaction de la surface
sur le point étant nulle, celui-ci se meut comme s'il était entièrement libre; il en résulte que la trajectoire est une ellipse. On peut le vérifier par la recherche directe de l'équation de la projection de la trajectoire sur le plan des xy\ on a, pour la relation entre /' et 6,
qui devient, en posant — = m,
du
riz2c?8
d'où l'équation cherchée
qu'on aurait pu déduire directement des équations (i), (4) et (6); elle représente une ellipse tangente au cercle de gorge. L'hyperboloïde et le cylindre représenté par
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. l83
l'équation ( 7 ) se coupent suivant deux ellipses dont les plans ont pour équation y =i±z zy''i.
Le mouvement relatif du point M sur la génératrice AB est donné par l'équation
( 8 ) R = ^ V^'2 = a sin kt.
Enfin Tangle ^ de OA avec sa position initiale est
u^ = 6 — arc tang- :
d'où, pour la vitesse angulaire cherchée,
dt ^- i-i-lsinU^
108. Entre les coordonnées rectangulaires x, y et z d^itn point quelconque d^une surface donnée et les coordonnées r et ^ de la projection de ce point sur le plan des xy, on a les relations
iF = rcos6, ^=rsin6, z = k^.
Un point M, de masse m, assujetti à demeurer sur cette surface, est soumis à la réaction de la surface et à V action d'une force F dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du point M sur Vaxe des z, ^intensité de cette force étant une fonction donnée de la distance du point M à Vaxe des z.
Indiquer la forme générale de la projection de la trajectoire sur le plan des xy :
l '^ Dans le cas où la force F est proportionnelle à la distance du point M à Vaxe des z et tend à éloigner le point M de cet axe;
2" Dans le cas où la force F est nulle, de sorte que le point M n'est soumis qu'à la réaction de la surface.
Etudier, dans ces deux cas, le mouvement du point M sur sa trajectoire. Quelles devraient être les conditions
l84 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
initiales pour que les intégrations puissent s'effectuer au moyen des fonctions élémentaires? Trouver la pression exercée par le point sur la surface,
(Toulouse, juillet 1886.)
Il est avantageux, quand les coordonnées de la surface sont, comme ici, exprimées en fonction de deux paramètres variables de se servir de l'équation (n*^ 57, 4°)
et de prendre pour déplacements virtuels ceux que l'on obtient en faisant varier successivement chacun des paramètres; on a ainsi les deux équations nécessaires et suffisantes pour la détermination du mouvement du point sur la surface.
Faisons r = const., c'est-à-dire déplaçons-nous suivant une des hélices de la surface, nous aurons
d'où
d-^x d^y , d^z d / d^ , dz
-^ dt^ dt^ df^ dt \ dt dt
et, en intégrant,
cette intégrale, analogue à celle des aires, montre que 6
varie toujours dans le même sens.
L'équation que l'on obtiendrait en faisant 8 = const.
serait
qui, après une transformation simple {Cours de Ciné-
MOUVEMENT d'lN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. l85
matiqiie, ii° 21), pourrait être intégrée une première fois et conduirait à l'équation des forces vives de laquelle il vaut mieux partir immédiatement. On a
, ( r2 -f- A:2 ) ^62 -^ <ir2 c^ dr^
df^ r^ -+- X:2 ^ dt^ '
d'où l'équation
Premier cas • f{r) =^ [x^r. — L'équation (2) devient, en posant h -= çl — [^'''o?
à/^2 i /ci dr
elle permet d'indiquer la forme de la trajectoire. On doit avoir, en effet,
[jlV*-*- ( [JL2X:2-h h)r^~T- k^ h ~ c'^y o ;
or trois hypothèses peuvent se présenter :
et
\^ k^h — c2>> o ou A >> -,- > o. — Les racines en r^
du trinôme sont imaginaires ou négatives; donc r variera toujours dans le même sens et tendra vers ±: 00 suivant
que (-7-) ^o. L'équation (i) montre que -7- tend vers zéro.
à mesure que r croît en valeur absolue; on a d'ailleurs, pour l'équation différentielle de la trajectoire
^ r^ -f- k^\/{li^ r^ -:- hy {r^ -^ k^) — c^
donc est fini pour r = 00 , et la courbe a une asymptote
passant a i origine, car lim — 1 — = o.
2** k^h — c2-< o. — Les racines du trinôme en r^ sont de signes contraires ; soit rj la racine positive, la trajectoire est tangente au cercle r = r^.; r tendra vers l'infini,
l86 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
OU d'abord vers r< et ensuite vers l'infini suivant que
( -^ j ^o. La courbe a d'ailleurs une asymptote.
3** k^h — c^=zo, — On a ^-^k^-^- h^ o, et ce cas ne diffère du précédent qu'en ce que r^^ o] alors, si
dt )o
la trajectoire projetée sur œy devra passer à l'origine, mais
r ne deviendra nul qu'au bout d'un temps infini, car -7-
a son degré d'infinitude égal à l'unité pour r = o. Du reste, l'équation de la trajectoire et celle qui donne la loi du mouvement peuvent être intégrées dans le cas actuel. On pourra encore intégrer lorsque le trinôme bicarré sera un carré parfait
ce qui entraîne
c = o, Q = const., ix^k^ = h]
le mouvement se fait alors sur une génératrice rectiligne, et sa loi est donnée par la formule
lit =:'z log
/'o -î- \/rl -+- k^
Si ( -^y j -< o, r devient nul au bout d'un temps fini, et,
si l'on compte le temps à partir de ce moment, la loi du mouvement prend la forme plus simple
La pression se calcule en prenant l'équation du mouvement projeté sur 0;^
dt^
\/i-\-p^-{-q^ V^rï'-h/rs
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. 187
d'autre part,
ickr /(ix^r^-\- h)(r^-\- k^) — c^ .
kr / (fAV^H-/i) (r
d'où, pour la pression du point sur la surface,
Second cas ; F = o. — La trajectoire est une ligne géodésique de l'hélicoïde (Exercices d^ Analyse, n® 71). On a [X = o, A = (^J, et les équations (3) et (4) deviennent
v//'2-H k^ dr
dt=±
La discussion est la même que dans le cas précédent; seulement l'asymptote, au lieu de passer à l'origine, en est à
la distance — •
Si A"2= — » les équations précédentes sont intégrables:
l'équation de la trajectoire est
± ik
en projection, l'origine est un point asympto tique de la trajectoire; mais, sur la surface, on s'élgjgne indéfiniment à mesure que 6 tend vers zii 00, en sorte eue dans I^sp'ace la ligne géodésique est asympto tique à Ijaxe O^.
l88 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Enfin la pression a pour expression
2 mckvQ
^r^-HX:.-£l
109. On donne un hélicoïde représenté , en coordonnées rectangulaires^ par V équation
Y z = A: arc tang — •
Un point matériel, non pesant, assujetti à rester sur la sur/ace parfaitement polie de cet hélicoïde, est attiré vers Vaxe Oz par une force dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du point sur Vaxe et inversement proportionnelle au cube de la distance. Déterminer, dans le cas général, la loi du mouvement du point considéré, la pression sur l* hélicoïde et les diverses formes que peut affecter la trajectoire. Examiner les cas particuliers ou la projection de la trajectoire sur le plan xOy peut être représentée par une équation où n^ entrent que des fonctions algébriques^ logarithmiques ,
exponentielles ou circulaires.
(Agrégation, 1884.)
Les formules (i), (2) et (5) du numéro précédent donnent
dt=±
\/i,hr^-{- fjL*) (r*-r- k^) — c*r^
cr dr
^/r^-T-k^s/ihr^-h ii^){r^-\- k^) —c^r^
icmk
elles entraînent; V jcondition
V F(r2) = Xr-H-([JL2-hAA-î— c»)rS-i-(jLU2>o.
Pour discuter les circonstances du mouvement et la
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. I 89
forme de la trajectoire, nous distinguerons les cas où
h = v'I — ^ est positif, négatif ou nul.
I® A;>o. — Il y a Heu de rechercher les conditions pour que les racines de F(r^) soient réelles et positives; il faut, pour cela, que l'on ait simultanément
c2|jl2- AA-!>o, [c2— (|i-A:v/Â)*][c2— (fi-r-Arv^Â)*] >o;
or, si la première inégalité est satisfaite, le premier facteur de la seconde est positif, il faut donc que le second facteur le soit aussi
A = c2— (jx -H k^hY > o,
et, réciproquement, cette inégalité entraîne les deux autres. Soient donc A ;> o, r\ et r\ les racines de F(r2), r ne pourra prendre de valeurs comprises entre r^ et r2\ si Fq est supérieur à la plus grande racine r^, r tend vers riniini, soit directement, soit après avoir touché le cercle
de rayon ^2, suivant que (-f-) <o; la courbe C, projection de la trajectoire sur le plan xOy, a une asymptote située à la distance -p^ de Forigine. Dans le cas de Tq <C ^^
r oscille entre àir^ en passant par zéro; mais, quand r devient nul, la force et la vitesse deviennent infinies, et le mouvement ultérieur est purement conventionnel. Si l'on admet que r devienne négatif, la force étant une fonction impaire de r, on pourra continuer à appliquer les équations précédentes du mouvement; on volt que, r changeant seul de signe, pour que dt reste positif, il faudra changer le signe des seconds membres de ces équations et introduire ainsi une discontinuité dans les valeurs de — W— - et
dt
-^r — qui changeront de signe sans passer par zéro. Alors rfô conservera toujours le même signe, ainsi que cela doit
igo DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
être, et la courbe G se composera de boucles passant à l'origine sans inflexion, et tangentes au cercle r =^ r^.
Quand A < o, ¥{r'^) est toujours positif, la courbe G peut, soit aller à l'origine où il y a toujours une discontinuité, soit aller directement à l'infini ; il y a, comme précédemment, une asymptote.
Si F(r2) est un carré, on peut intégrer les équations qui donnent ^ et 6 ; cela se présente notamment si A = o : alors les racines de F(r2) sont
et l'on a
cA hk^ uî
ixk
ih
<jh
^ cr dr
La courbe G est asymptote au cercle r = r^ et lui est extérieure ou intérieure, suivant que r^^r^ ; si ro= /'<, ce qui
exige, dans le cas actuel, ( ;t- ) = o, r reste constamment
égal à Tq, la pression P est nulle, et le point décrit librement une hélice d'un mouvement uniforme; la vitesse angulaire du mouvement projeté
di " 7-2 -+- k^ ""— rj -t- k^
2** A<o. — Les deux racines de F(r2) sont réelles, et une seule r^ est positive ; r oscille entre d= r^, comme nous l'avons vu précédemment.
3** h= o, — Les formules sont intégrables, mais elles ne conviennent au mouvement qu'à la condition de changer le signe du radical quand r passe par zéro.
Si (Ji^ > c^, F(''") ^st toujours positif; la trajectoire projetée est une spirale qui s'en va à l'infini soit dès le début
