MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE

du mouvement, soit après avoir passé à Torigine, suivant le signe de (g:)^.

Si \k^<C c^, le mouvement est de même nature que dans le cas de A < o.

Enfin, si [jl^c::.- c-, F(r^) se réduit à [f.^k^', r varie toujours dans le même sens, et la trajectoire projetée est une spirale. Les équations du mouvement prennent alors la forme simple

, , r dr \/r^ -+- A 2 ,^ , r dr

dt = zh z » d^ = ±1

intégrons-les avec les signes inférieurs pour étudier le cas de r décroissant, nous trouvons

3is.kt = (rj-f- A:2)"2— (rî-4- Ar^)^, z = k^ = s/ ri -\~k-^— \/r^~k^;

la trajectoire relative, dans le plan azimutal, est une hyperbole équilatère. Il est aisé de reconnaître que ces équations ne sont plus applicables après le passage de r par zéro ; la première, en effet, assujettirait ^ à ne pas dépasser une certaine limite, et la seconde représente une courbe ayant une inflexion à l'origine, ce qui est incompatible avec la loi du mouvement, d'après laquelle doit toujours varier dans le même sens.

110. Un point matériel assujetti à se moui^oir sur une sur/ace de révolution est uniquement sollicité par la force qui provient des résistances passives et qui est dirigée en sens contraire de la vitesse. Trouver les équations du mouvement du point, en déduire que la trajectoire est une ligne géodésique et qu^ elle fait avec les parallèles qu^élle rencontre des angles dont le cosinus varie en raison inverse du rayon de ces parallèles.

Ofi donne un parallèle d^ une surface de révolution S, et Von considère un tube très étroit dont Vojce est dirigé suivant la ligne géodésique de S qui touche en un point A le parallèle donné. Le tube renferme un point matériel M, attiré vers Vaxe par une force dirigée suivant la perpendiculaire MP abaissée du point sur l'axe et égale à ar -r-b, a et b désignant des constantes qui ne sont dans aucun cas négatives et r la distance MP. Quelle doit être la forme de S pour que le point M abandonné sans vitesse à V action de la force donnée arrive au point A au bout d'un temps donné, quel que soit le point de départ Mq? Discuter la forme de la méridienne de S et indiquer quelques cas où V intégration peut s' effectuer complètement,

(Agrégation, i885.)

Soit, plus généralement, un point assujetti à se mouvoir sur une surface donnée quelconque, et soumis à l'action de deux forces, Fiine normale à la surface, l'autre tangente à la trajectoire du mobile ; cette courbe sera une ligne géodésique de la surface. En effet, l'accélération du point sera dans le plan de ces deux forces; or ce plan, contenant l'accélération du mobile et la tangente à sa trajectoire, est le plan osculateur de cette courbe, et il passe d'ailleurs par la normale à la surface; donc celle-ci est une ligne géodésique.

Traitons la question directement pour avoir l'équation différentielle de la courbe.

Soient z =f(r) l'équation de la surface et T la résistance passive, variable, mais quelconque, rapportée à l'unité de masse : on a l'équation aux composantes tangentielles

dt ~ ' c'est l'éauation du mouvement.