MOUVEMENT D^UÂ POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE
D'ailleurs, la réaction normale de la surface rencontrant l'axe, l'équation des moments des quantités de mouvement autour de cet axe est
dt\ dt)- ^Vds.^ds)^ ^'^ ds'
d'où, en éliminant T,
d^\ d^ , dv r^d^
\ ,û?ô , dç ) = r^~^ dç = — / ds ç
dt ] ds ç dt
et, en intégrant,
r'^-r-—kv ou r^d^—kds\ dt
c'est l'équation différentielle cherchée des projections des lignes géodésiques de la surface sur le plan des xy {^Exercices d^ Analyse, n** 69).
On a encore, en appelant i l'angle de la trajectoire avec le parallèle de rayon r,
. rd^ k
COSl = —7— = ->
ds r
ce qui démontre la propriété énoncée des lignes géodésiques des surfaces de révolution.
Pour résoudre la seconde partie du problème, nous rechercherons d'abord quelle doit être l'expression de la composante tangentielle de la force qui agit sur un point assujetti à parcourir une courbe donnée, pour que cette courbe soit tautochrone. Comptons les arcs s à partir de A vers Mo : la force cherchée F (5) sera dirigée dans le sens des s négatifs; on aura donc, en prenant ds positif et tenant compte de i^o = o,
= — 2 \ Y{s)ds — h
d^^ p2= ^ = — 2 / \!^^s)asr=.ii—u,
ViLLiÉ. — Comp. IL i3
en posant
f ¥(s)ds^hj 2/ F(s)ds=zu;
on en tire, pour le temps que le mobile met à arriver
de Mo en A,
J. sjti—u
Or cette expression est identique à celle du n** 99 : on en
conclura donc
ds k s^
ou bien
d'où, en diflférentiant,
Partant de cette expression F(s) = [k^s de la force langentielle, on aura l'équation différentielle de la trajectoire en identifiant les deux expressions suivantes du travail élémentaire
— (ar -i- b)dr — — ix^s ds
et, en intégrant,
/'o étant le rayon du parallèle du point A; d'où
, (ar-h b) dr lids= ;
V/(r — ro)[a(r4- Pq) 4- 26]
or, la trajectoire élant une ligne géodésique, on a
ds = — ï — =
a: to
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. IqS
et, par suite,
{xr2 ^(^r — r^)\ai^r-^rçs)-^'i.b\'
c'est Téquation différentielle cherchée, elle peut toujours être intégrée. Pour en déduire la méridienne de la surface ^ =/(r), nous partirons de l'équation différentielle des lignes géodésiques
or
cette équation devant être identique à celle que nous avons précédemment trouvée, nous aurons, par l'élimination de rfO,
i (ar -^bf I -\-f'^
^ÏV2 (r — ro)[a(/--+-ro)-h26] ~" r^—rl^
d'où
^ , d^ ^ r-^r^ {ar H- h)^ ^ i V "^ r/ ^ .
"^ c?r2 {jL2r2 a{r-hrQ)-\-ib fi* îi6 ^^ '^^
r-^ro
c'est l'équation différentielle de la méridienne; z s'exprime en général à l'aide d'intégrales elliptiques. Elle permet toutefois d'indiquer la forme de la méridienne par l'étude de ç'(r); cette dérivée est égale, à un facteur positif près, à
expression dont les deux termes sont négatifs ; il en rédz^ dr^
dz^ suite que -r-^ décroît constamment; à chacune des valeurs
igÔ DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
de -r- répond une branche tournant sa concavité toujours
dans le même sens.
Pour étudier la méridienne, nous ne devons donner à r que des valeurs positives^ car aux valeurs négatives de r répond une loi d'attraction différente. Quand r= o,
-j-j est infini, et la valeur correspondante de z est ± oc,
puisque le degré d'infinitude de la fonction à intégrer est égal à l'unité; la courbe est donc asymptotique à l'axe des z,
La valeur de -j-^ pour r = co étant ~ — i , soit d'abord
a<; [x2; -j-j décroissant constamment, s'annule pour une
seule valeur r^ de r, et l'on ne peut attribuer à r des valeurs supérieures à /•< ; si l'on fait décroître r de ri à zéro, une des valeurs de z croît de Zt à -hoo, et l'autre décroît de 3< à — oo, le point (r<, ^<) est un point de rebroussement ayant sa tangente normale à l'axe, et la courbe a la forme d'une cissoïde.
Quand a >■ [x^, — est réel pour toutes les valeurs de r
et, si on le suppose positif, quand r croîtra de o à oo, z croîtra de — oo à -f-oo; outre la partie inférieure de l'axe des z, la courbe admet la direction asymptotique
c = i/— — i; cette asymptote est d'ailleurs à distance finie, car ^{r) développé par division suivant les puissances décroissantes de r ne contient pas de terme en -;
dz il en est donc de même de -y-
dr
= * yi
dz= dr[i/ — --i -h — H-...
et la limite de ^ — cr est finie.
MOUVEMENT dVn POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. I97
La valeur de z ne pourra s'exprimer à l'aide des fonctions élémentaires que dans les cas suivants : i^ Si le numérateur de ^{r) est divisible par
a(r-4-ro)-f-2 6,
ce qui entraîne
aro -1-6 = 0;
Tune des quantités a ou 6 serait négative, contrairement à rhypothèse.
2® Quand le numérateur de
a{a — \L^)r^-^{a— \L^){ar(^-\- 'xb)r'^ -^b{iarQ-\-b) r -^ r^b^
admet une racine double.
3^ Quand les deux derniers termes de f\{r) disparaissent ; 6 = o, l'attraction est proportionnelle à la distance. On a alors
la méridienne se réduit à une droite et la surface à un cône réel ou imaginaire.
4® Si/i (/•) el/2(r) perdent chacun leur premier terme, ce qui exige a = o ; la force est constante.
5® Enfin, quand les deux premiers termes de f\{r) sont nuls, a = [jl^ ; on a
/- » I <3?r, /biiarç^-^ b)r -^ rçib^ )/adz = ± — 4/ , '-T F — ;
r peut prendre toutes les valeurs positives ; la méridienne est d'un côté asymptote à O^ et se termine, de l'autre côté, par un arc parabolique dont la tangente tend à devenir perpendiculaire sur Os.
m. Un point mobile sur une surface de rés^olution S est soumis à une force en sens contraire de la vitesse du point et égale à ^{?^\ trouver la loi du mouvement du point, La trajectoire est une ligne géodésique et fait avec les parallèles des angles dont les cosinus sont inversement proportionnels aux rayons de ces parallèles.
Quelle doit être S pour que la trajectoire obtenue
ait en chacun de ses points un rayon de courbure égal
au rayon de courbure de la méridienne, mais dirigé
en sens contraire?
(Caen, novembre 1887, 2* question.;
On a, pour déterminer le mouvement du point, l'équation
qui s'intègre immédiatement et donne
(l) P= — -, 5 = -Iog(l-H [IPoO-
