LVQt fl

Les propriétés de la trajectoire ont été démontrées (n° HO) dans le cas plus général où la résistance passive, tangente à la trajectoire, est quelconque.

Soient p< et p2 les rayons de courbure des sections normales principales de la surface dirigées Tune suivant le parallèle, l'autre suivant le méridien; on a, pour déterminer le rayon de courbure p de la ligne géodésique faisant l'angle i avec le parallèle, la formule

I cos^t sin^i

P Pi P2

cette équation devient, avec la condition de l'énoncé

, . cos*i î-^-sin^/

Pi Pî

MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE OU SUR UNE COURBE. IQQ

Prenant l'axe de révolution pour axe des x^ on a, en tenant compte des signes,

. / df^ V"^ dx^)

dx^ d'ailleurs

cos'i= — -7 i-hsin'i= - — - — •

Transportant ces valeurs dans l'équation (2), on obtient l'équation différentielle de la méridienne

posant ^ =z p^ cette équation peut s'écrire

pdp ^ k^dy __ZL.

intégrant et désignant par c une constante essentiellement positive, puisque pour tous les points de la trajectoire

-— ^ — > o, on a d'où

l'intégrale de cette équation est, en négligeant la constante qui accompagne x^

(4) y^^ic — i) — x^{ic— i)2= k^c.

200 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. IV. — MOUVEMENT d'uN POINT, ETC.

Si c <; ~, l'équation (4) donnerait une ellipse imaginaire; on doit donc avoir c >> ^, et la surface cherchée est un hyperboloïde de révolution à une nappe.

Nous savions d'ailleurs, a priori^ que la surface devait être, en tout point, à courbures opposées.