CHAPITRE V
112. Une tige homogène pesante AB^ de longueur l, est suspendue verticalement à un point fixe A 5 on imprime à cette tige une vitesse angulaire coq,
OÙ g désigne la gravité et n un nombre positif : 1" Déterminer le mouvement de la tige.
Au moment où la tige occupe la position verticale
AB' (fig, 17), on rend libre l'extrémité K.
Fig. 17.
IB
2® Déterminer le mouvement de la tige dans cette seconde phase ,
3° Déterminer n de manière que les deux extrémités de la tige se trouvent à un même moment sur le plan horizontal passant par le point B.
(École Normale, i884, 2® question.)
1° Le principe des forces vives fournit Féquation du mouvement pendulaire
-1(0)2—0)2)= ^(cosO — i) ^ — gl^sm^-; or 1 = — > on a donc
= |(„ + 6-6sin«?) = f(» + 6cos=^);
le mouvement est révolutif, et la longueur du pendule simple synchrone est \l,
2^ Dans la seconde phase, le centre de gravité O de la tige décrit une parabole; au moment où le point A est rendu libre, la vitesse angulaire de rotation de la tige est
/^. dcc
et le mouvement du centre de gravité est donné par les formules
Quant au mouvement de la tige autour de son centre de gravité, c'est une rotation uniforme avec la vitesse angu-
laire/f.
3** La tige devient horizontale quand elle a tourné de l'angle ik-^ - W, soit au bout du temps
MOUVEMENT D'oN CORPS SOLIDE. 2o3
d'ailleurs O arrive sur rhorizonlalé de B à l'époque t =^ i/ -j-y d'où la condition cherchée
k étant un entier quelconque.
113. Une barre homogène pesante AB {fig^ 18), assujettie à rester dans un plan vertical xO y, est rattachée à un point fixe O par un fil inextensible et sans masse , fixé en son milieu C. Les extrémités de la barre sonly en outre, sollicitées par deux forces verticales égales et opposées, d'' intensité constante F. Trouver le mouvement de la barre et la tension du fil.
Fig. 18.
co
On désignera par l la longueur du fil, par M la masse, et T^a la longueur de la barre, par 6 V angle du fil OC avec la verticale descendante O^, par a V angle de la barre avec cette même verticale.
(Paris, juillet 1888, i"^® question. )
Le mouvement du centre de gravité G de la barre coïncide avec celui d'un point matériel de masse M soumis à l'action des forces F, — F, M^ et à la tension du fil, les
deux premières se détruisant, le mouvement du point C est celui d'un pendule simple de longueur /.
Soient ç la vitesse de C et T la tension du fil, l'équation aux composantes normales du mouvement de ce point donne
Mp2
d'ailleurs d'où
= T — M^cos6;
Ç^z^ ç^ H- 2^/(cos6 — cos6o),
T = M r^? -h ^(3 cosO - 2 cos6o)1 .
Le mouvement de la barre relativement à des axes en translation avec C est celui d'un pendule composé
d*OL 2aF sina ^ 'dt^ ^ i '
soit L la longueur du pendule simple synchrone, on a
g ^ 2aF 6F agM
114. Les extrémités A, A' dUine barre homogène pesante de longueur il et de masse M sont assujetties à glisser sans frottement sur deux plans horizontaux V etV ayant pour équation z = ± a. Chaque point de cette barre est attiré par l^ origine O proportionnellement à la distance et à la masse; trouver le mouvement de la barre.
On appellera Ç et r^ les coordonnées du centre de gravité G dans le plan xOy, 6 Sangle constant de la barre avec la verticale Oz^ 'f Sangle de la projection de la barre sur le plan xOy avec l'axe Ox^ et [jl^ l'attraction de O sur l'unité de masse à l'unité de distance.
On cherchera, en particulier, la surface décrite par
MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE. 2o5
la barre, en supposant que, à r instant t = o,
d^ rfcp TU
(Paris, juillet 1889, i"* question.)
La résultante des forces attractives passe par le centre de gravité et a pour expression MiJi^p, p étant la distance de ce point à l'origine (n° 52); le centre de gravité décrit donc une ellipse ayant O comme centre. Le mouvement de la barre relativement à des axes en translation avec le point G est une rotation autour d'un axe vertical; les forces qui agissent sur ce solide, la pesanteur et les réactions des plans P et F, étant parallèles à l'axe de rotation,
la vitesse angulaire -~ = const.
Avec les données particulières de l'énoncé, on a
Ç = acos[i^, 7) = psin{JL^, cp =z {x^ ou cp— jjl^h — ;
les équations de la barre, à l'époque ^, sont
X = \-{- z tangS coscp, y = -^-^ z tang6 sincp.
L'élimination de t entre ces équations donne la surface lieu de ces droites; on a, dans le premier cas (p = jji^,
X^ yî
{%-^z tangO)2 (P -h2 tang6)2
c'est une surface du quatrième degré coupée par des plans horizontaux suivant des ellipses ayant mêmes directions d'axes, et telles que la différence de leurs axes est constante; la barre est dans le plan azimutal du centre de gravité, quand celui-ci se trouve sur l'un des axes de coordonnées. Cette surface admet deux génératrices singulières
ar r= o, z — — acot9;
^ = o, ^ — — pcotô.
2o6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
Le cas de o = ^t -\ — donne la surface du quatrième degré
( jîa? -i-yz tang6)2-f- (aj — xz tang6)2 = (a^ -h z^ tang^B)*,
coupée encore suivant des ellipses par des plans horizontaux.
Quand le centre de gravité se trouve sur Tun des axes Ox ou O^, la barre est normale à Taxe rencontré.
115. En deux points fixes A et AI situés sur Vaxe horizontal O X ^ à des distances égales 0A= OA'=a de V origine O, sont attachés deux fils sans masse AM, A' M' de mente longueur /, supportant une barre pesante homogèneMM! de longueur la égale àAA!, Cette barre est percée en son milieu C d^une ouverture infiniment petite, dans laquelle passe Vaxe Oz supposé vertical et dirigé vers le bas. Le système y étant écarté de sa position d^équilibrCy est abandonné à lui-même sans vitesse initiale. Trouver le mouvement et la tension des fils,
(École Normale, 1887, 2® question.)
La barre MM' étant évidemment assujettie à rester horizontale, le problème ne comporte que deux inconnues : Tangle 6 des fils avec Oz et l'angle a de la barre avec O^; ces angles sont d'ailleurs liés par l'équation
/sinS = ia sin ->
à laquelle il suffit de joindre l'équation du travail et des forces vives pour avoir les deux relations qui, théoriquement, déterminent et a en fonction du temps.
On a, en prenant pour unité de masse celle de l'unité de longueur de la barre,
;; = /cos6 étant l'ordonnée de G et I le moment d'inertie |a3 de la barre relativement à son centre G; d'où l'équation
"3" 5? "^ 5^ =2^/(cos6 — cosOo).
Gette équation montre que 6 oscille entre -j- 60 et — ô^; a varie entre des limites correspondantes données par l'équation de liaison. On reconnaît encore que —^ est maximum pour 6 = 0, puisque, pour cette valeur, le second terme du premier membre s'annule et que le second membre est maximum.
Quant aux tensions T et T', la symétrie absolue du système relativement à O^ prouve qu'elles sont égales. On le démontre plus rigoureusement en appliquant le théorème des moments au mouvement relatif à des axes horizontaux en translation avec le centre de gravité G ; les moments des quantités de mouvement sont nuls, il en est de même de ceux du poids de la barre et de la réaction de l'axe Oz\ donc ceux des forces ï et T' sont égaux et de signes contraires, ce qui exige que ces forces soient égales. On en conclut encore que la réaction de l'axe Oz est nulle, car les forces T et T', transportées au centre de gravité G, sont dans un même plan vertical, elles sont égales et font le même angle 9 avec la verticale ; elles ont donc avec le poids lag une résultante verticale, et, comme le point G se meut verticalement, la réaction de l'axe, qui devrait être horizontale, est nulle.
Appliquant, au mouvement relatif de la barre, le théorème des moments des quantités de mouvement autour de G 5, on a, pour déterminer T, l'équation
— 2TsmO X acos- = l -j-- = -r- --.— ,
2 dt^ 3 dt^
2o8 DEUXIÈME PARTIE.
d'où, en éliminant 6,
