CHAPITRE V
la (PoL
3 sin a df^
H6. On donne un quart de cercle fixe, de rayon R, limité par un rayon vertical Oy {fig» 19) ^^ ttne barre homogène, pesante, AB, de longueur il, glissant sans frottement sur le quart de cercle, et dont une extrémité A glisse sans frottement sur Oy, En appelant cl
l'angle de la barre avec V horizontale Ox^ on demande :
1° La position d'équilibre de la barre;
2" Son mouvement lorsqu'on V abandonne à ellemême, sans vitesse, dans la position horizontale Kq^q.
l i/3 On montrera, en particulier , que,siK= — - , l'angle cl
TU
oscille entre o et ^»
(Paris, novembre 1888, a' question.)
1" L'ordonnée du centre de gravité C étant
y = OA — Ac =
cosa
— /sin a,
la fonction des forces, non compris les liaisons, a pour
MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. 209
expression
igl ( IsinoL );
\ cosa/
égalant sa dérivée à zéro, on a
, R sina
l cosa -— = o
cos^a
ou
R tang3 a -h R tanga — / = o ;
celte équation n'ayant qu'une variation a une seule racine
positive a^, à laquelle répond la position d'équilibre. D'aîl-
'leurs, la dérivée première de la fonction des forces pouvant
s'écrire
cosa(/ — R tangua — R tanga),
sa dérivée seconde, pour a = a,, se réduit à
R(i-f- 3 tanguai)
cosai
l'équilibre est donc stable.
2° Pour trouver la loi du mouvement, nous appliquerons le théorème du travail et des forces vives
I^ —-, X = l cosoL, y= /sina,
3 cosa
dx = — / sina dx, dy =^ l r— — / cosa ) da:
' ^ \ cos^a /
d'où l'équation déterminant a en fonction du temps
^aV4 /, R^sin^a , \ T.. / i \1
-nrlT^^H 1 aRUanga) ^2^\ l sinoL-hK{ i ) .
dt^\3 cos*a / L \ cosa/J
Les valeurs extrêmes de a sont données par Téquation
ViLLiÉ. — Comp. II. i4
iR
sin2 -
cl'
cos2 -
— sin2
y=yo ou
/sina = R ( 1 ) =
cosa
supprimant la solution connue - = o, on obtient l'équa-
tion
y tang3 - + tang2 - + j tang - — i = o,
qui n'a qu'une seule racine positive, tang|a2 répondant à la question.
Dans le cas de -^ = — , ao = :r, car il est aisé de vé-
rifier que tang - = — satisfait alors à Téquation précédente.
117. Une circonférence de rayon R tourne avec une vitesse angulaire constante co autour d^ un de ses diamètres Ox supposé vertical :
i" Etudier le mouvement d^ une barre matérielle, homogène, pesante, AB, dont les extrémités glissent sans frottement sur la circonférence ;
9^" Trouver les positions d^ équilibre relatif de cette barre,
V origine des coordonnées étant au centre O et Vaxe des X étant vertical et dirigé vers le bas, on appellera a la longueur OC de la perpendiculaire abaissée du centre sur la barre, M la masse de la barre, MA-^ son moment d^ inertie par rapport à son milieu G, et enfin 6 V angle de OC avec Ox.
(Paris, novembre i886, 2® question.)
Le problème ne comporte que Tinconnue 6, mais le principe des forces vives n'est pas applicable au mouve-
ment absolu de la barre, attendu que les liaisons sont fonctions explicites du temps.
Pour étudier le mouvement relatif de la barre dans le plan du cercle, il suffît d'ajouter en chaque point les forces fîctives d'entraînement et centrifuge composée, et d'appliquer le théorème du travail sans tenir compte des forces de liaison qui obligent les extrémités de la barre à s'appuyer sur la circonférence.
La force vive de la barre, dans ce mouvement, a pour
expression M(a^-\- /^^)-ri*
Le travail de la pesanteur est, à une constante près, M^acosO. Celui de la force centrifuge composée est toujours nul, puisque cette force est perpendiculaire à la vitesse relative. Le travail élémentaire de la force d'inertie d'entraînement mtù^y^ pour un point de masse m = dly a pour expression
m m'^y dy = - m w* di^y^ ) ;
le travail des forces d'inertie d'entraînement appliquées à tous les points de la barre est donc
= /a)2(a2sin2 0-|- -cos^Ô
= -Ma)2(a2H -^ — cos^ôl.
L'intégrale des forces vives, dans le mouvement relatif^ donne alors
(a2-+- A:*)^-^ = w2 -2 — cos^O -h 2a^cos6-i- /«
= ^ 3 (-5 — -51 ) (-5 — Zi),
en posant cosO = z.
Pour étudier les circonslances du mouvement, nous distinguerons les cas de 2a^R, celui de 2a = R donnant lieu à une discussion identique à celle du pendule simple.
I® 2a <; R. — Les racines Zi et Z2 du trinôme en cos6
peuvent être imaginaires; -tt ne s'annule jamais, le mouvement est révolu tif.
Si elles sont réelles, z sera en dehors des racines; soit ^i <! ^2î ^i est nécessairement négatif; alors il peut arriver que Zo= cos6o<; Zi^ ce qui suppose | z^ | < i; posant Zi = cos9|, 6 oscillera de 6| k 2tz — 6| sur l'arc supérieur, moindre que ti. On peut encore avoir ^o> ^2 • le mouvement est révolutif si Z2<i — i ; il est oscillatoire si 52> — ' ? et 6 varie de 62 à — O2 sur l'arc inférieur.
2"* 2a >R. — Les racines ne peuvent qu'être réelles, et l'on peut faire sur leurs valeurs les hypothèses suivantes :
^2 > I î ^1 <! — I . — Mouvement révolutif.
Z2<C,i, Zi<C — !• — Ce cas est impossible, la somme des racines étant positive.
^2 > I ) ^1 > — ï • — Il faut alors que Zi<C i, puisque z doit être compris entre les racines; 6 oscille sur l'arc inférieur, entre 9| et — 0,.
^2 <! I > ^i > — 1 • — 9 varie de 6| à 62 5 c'est le seul cas dans lequel la droite OC reste constamment du même côté de la verticale Ox,
Enfin les positions d'équilibre relatif de la barre s'obtiendront en égalant à zéro la dérivée de la fonction des forces
— 0)2 -^ — sin 6 cos 6 — a^ sin = o ;
on a une première solution sin 6 = o, d'où les deux positions d'équilibre 6 = 0, 6 ^^Tt; l'équilibre sera stable ou instable, suivant que la dérivée seconde de l'expression du
MOUVEMENT d'uX CORPS SOLIDE. 2l3
travail
— 0)* ^-^^ — cos 2 — a^ cos 6 = — w' ^ =p ag
sera négative ou positive.
La seconde solution est
et la valeur correspondante de la dérivée seconde a pour
expression
3aV* 4a«— R*
118. £//i disque circulaire homogène , pesant, de rayon R, situé dans un plan vertical, est assujetti à rouler sans glisser sur une droite fixe O x faisant avec l^ horizon V angle a ; le centre C du disque est, en outre, attiré par un point fixe O de la droite proportionnellement à la distance,
I® Trouver la position d^ équilibre du disque;
Si® Le disque étant abandonné dans une position ini* tiale quelconque avec une vitesse nulle, trouver son mouvement et calculer le temps qu^il met à atteindre la position d^ équilibre,
N. B. — On désignera par x la distance OA du point O au point de contact et par Xq la valeur initiale de X] le rayon de giration du disque autour de son
axe est — ^ > et la force attractive issue du point O est
égale en intensité au poids du disque lorsque x est nul.
(Paris, novembre 1884, 2* question.)
1° Dans sa position d'équilibre, le disque est soumis à la force attractive, à l'action de la pesanteur et à la réaction normale de la droite O^, d'où, en projetant sur cette
t2l4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
droite,
or, d'après les données, [x^R^g", d'où, pour la position
d'équilibre,
^j = R sina = OAj.
2® Le centre du disque décrit une parallèle à O^, et le mouvement relatif est une rotation autour d'une normale au plan du disque. Soit F la composante parallèle à Oœ de la réaction de cette droite : le mouvement du centre de gravité est donné par l'équation
m -7-^ — — m\i^x-^ m^sina — F, et celui de la rotation, par
dt^ ~ n ~dt^ ~ ~r ~ mR' d'où, en éliminant F,
et, en transportant l'origine au point A, d'équilibre,
c'est l'équation du mouvement rectiligne d'un point attiré par Ai avec la force €' le mouvement est oscillatoire et donné par la formule
le mobile passe en Ai au bout du temps
119. Un disque circulaire non homogène, pesant, assujetti à demeurer dans un plan vertical, est posé sans vitesse initiale, par sa tranche, sur V horizontale AB de ce plan. Etudier le mouvement de ce disque.
On donne la masse M du disque, son rayon R, la distance l du centre de gravité G au centre de figure et le moment d^ inertie Mk^ par rapport à un axe normal au plan du disque et passant par le centre de gravité G. On négligera le frottement,
(Paris, juillet 1887, 2® question.)
Prenons pour origine la position initiale O du centre G du disque et pour axe desj^ la verticale descendante ; soient, de plus, à l'époque ^, ;r et^ les coordonnées du centre de gravité et 9 Tangle de CG avec Ox, L'une des équations
du mouvement du centre de gravité, -jj =o, nous donne
X = const. = Xq^ puisque ( ;77 ) = o ; le centre de gravité
du disque se meut donc sur la verticale qui passe par sa position initiale, tandis que le point G décrit Thorizontale O^. La distance CG = / étant constante, il en résulte que tout point du disque décrit une ellipse ou une droite (Cinématique, n° 42, 3°).
Il nous reste à déterminer la loi du mouvement, c'està-dire l'angle 9 en fonction du temps.
Le principe des forces vives nous donne
I,mv^= 2Mg(y — yo) = 2M^/(sinô — sinOo); or, d'après le théorème de Kœnig, on a pour tout système
V désignant la vitesse du centre de gravité, et v^ celle d'un point m du système relativement à des axes en trans-
2l6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
lation avec le centre de gravité. Ici
d'où l'équation cherchée
(A:2-t-/2cos2e)^ r^2^/(sinô — sinOo);
elle montre que 6 varie entre 60 ^t "^^ — ^o? et que la vitesse angulaire relative -r est maximum pour Q := - .
120. Une plaque matérielle plane ^ infiniment mince y est mobile sans frottement sur un plan horizontal x Ojk. Chaque point de la plaque est sollicité par utle force perpendiculaire à Vaxe Ox^ dirigée vers cet axe et égale à la valeur absolue du produit de la masse du point par son ordonnée. Trouver le mouvement de la plaque.
On désignera par Ç, r^ les coordonnées du centre de gravité Q^parGxi et Gyi les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité G, et par ^ V angle de Gxi avec Ox, Enfin, en appelant m la masse d^ un point de la plaque et x^,^y^ ses coordonnées par rapport aux axes G^i, Gy^, on désignera par A e^ B les sommes ^mx\ et Y^my] étendues à tous les points de la plaque.
Examiner le cas particulier oit la valeur initiale
de 9 est ^ et où -j s' annule pour Q = o.
(Ecole Normale, 188G, i'" question.)
Les équations du mouvement du centre de gravité sont
MOUVEMENT d'cN CORPS SOLIDE. 217
et, en intégrant,
\ =: a-\' bt, T) = c sin(^-i- t);
la trajectoire du centre de gravité est une sinusoïde.
Le mouvement de la plaque relativement à des axes GX, GY parallèles aux axes fixes est donné par la formule
1 représentant le moment d'inertie polaire A + B de la plaque autour du point G; or
S01LF=— 2mX(Y-hTi) ==— 2/nXY;
d'ailleurs
X — Tj cosô — yi sin6, Y — ^i sinO -\-y\ cosÔ,
on a donc
dt^ A -4- B et, en intégrant une fois,
