VA
— = o>2 4- X:(sin2e - sin^ôo) = ^(sinîO — c) :
c'est une formule analogue à celle du mouvement pendulaire.
Supposons A<CB ou A* >> o, ce qui revient à étudier le mouvement relatif de Taxe du plus petit moment d'inertie; le mouvement sera révolutif si c est négatif, et oscillatoire s'il est positif , l'amplitude des oscillations étant inférieure à ir. Enfin, dans le cas particulier de l'énoncé, c = o, et l'on a
fi tane - — e*' "^^ ;
'JL
6 n'arrive à sa valeur limite o ou t. qu'au bout d'un temps infini.
2l8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
121. Un anneau dont le centre est fixé à V origine des coordonnées a sa masse uniformément répartie sur la circonférence moyenne de rayon R , son p lan fait un angle a avec le plan des xy ; il est attiré suivant la loi newtonienne par une masse [jl concentrée en un point A situé à une distance a de V origine y sur une perpendiculaire à la ligne des nœuds y dans le plan xO y.
1° On demande de calculer la grandeur du couple dû à cette attraction et qui tend à faire tourner l'anneau autour de la ligne des nœuds*
1^ Déterminer la vitesse de précession qu'un couple constamment égal au précédent communiquerait à la ligne des nœuds, quand on suppose Vanneau animé d^une rotation propre autour de son axe de figure et V angle a constant,
3° Indiquer la position de Vaxe instantané et la vitesse^ angulaire autour de cet axe,
On suppose — assez petit pour que, dans le développe-
ment de la distance d'un point au point [jl, on puisse
p> négliger les puissances de — supérieures à la première,
(Poitiers, juillet i885.)
I** Les forces émanant du point A sont deux à deux symétriques par rapport au plan mené par l'origine, perpendiculairement à la ligne des nœuds; leur résultante est donc dans ce plan ACO {fig- 20), et Taxe du couple cherché est dirigé suivant la ligne des nœuds ON. Pour calculer la grandeur P de cet axe, soient M un point de l'anneau, R<A sa masse, la force attractive est i— -^ — > sa projection sur le plan AOC, dirigée suivant AG, a pour
expression
\xKd'k AC
enfin son bras de levier est a sinOAC; or
AG sin OAG = GP = R sinX sina ;
on a donc, en tenant compte du signe de ce moment, qui
est négatif pour \ inférieur à tt,
P = — \t.ah} sina /
D'ailleurs
r2 = a2-hR2— 2aRcosAOM
= a2 ( i — a — sin A cosa H r I = a^ii — m),
) = — r ( n sm À cosa ) ,
en négligeant les puissances de — supérieures à l'unité;
il en résulte que la valeur du moment cherché est
uiR«sina r''' f 3R ^\ • ^ .^
= — ' / 1 n cos a sm A ) sin À dk
= — 3 irp, sin a cos a — -
2** Dans le cas où deux des axes principaux d'inertie du solide sont égaux, Ac:=B, les équations d'Euler se réduisent à
Aj+(G-A)9r=L, A^-(G-A)r;,=M,
il est commode d'introduire les moments P, Q et N relatifs au système reclangulaire ON, OC, OZ^ nous aurons
P = L coscp — M sin cp, Q = L sin cp H- M cos o ;
d'où les combinaisons
A /coscp -^ — sin cp -^ j -I- (G —k.)r{q coscp -\- p sincp) = P, A (sincp ~ -f- coscp-^ ) -^(G —k)r(q sin cp — /? coscp) = Q.
Or on a identiquement
dp . dq d , . . û?cp .
coscp -^sincp^^ = — (;>coscp — ^sincp)-h-^(josin''^-H^cos©),
dp , dq d , . . do , .
^^^'^'Tt^^^^'^dt ^ di^^^^^ "^ H- S' coscp) -+- ^(psincp—/? coscp);
on pourra donc écrire les équations précédentes comme il
MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. 22 r
suit :
A -j-(/?coscp — ^sin cp)-H(/)sincp + 5'coscp) A-^ H-(G — A)/' = P, A -7- (josin <p-+-5'cosçp)-h(^sincp— /?cosç) A-i^+(G — A)/* =Q.
D'ailleurs, des formules classiques
. . . â?tl û?6
/,= smôsincp-^+coscp^,
^ = sin6coscp-smcp^,
r = jî -f- cos6 -^, ai dt
on tire
p coscp — q sin o = — , /? sm «p -H 9 cos «p = sin u -y- ;
en portant ces valeurs dans les expressions de P et Q, on aura les équations
AsiaO^+(.A-G)cos6^^5^-G?#==Q, dt^ ^ ' dt dt dt dt ^
dt\dt dt) '
ces formules, dont on fait un usage très fréquent dans les applications, sont dues à M. Resal.
Dans le cas qui nous occupe, on a
6 = ot-h const., Q = N=o, G = 9.A = IttR^,
et les équations précédentes deviennent
dr^ d^ d^^
—^ -h cos a -7^ = const. = /i, -y-J = o, at dt ctt^
d^ 3 pi cos a
elles déterminent les constantes -^ et -j^; toutefois, les
dt dt
racines de Téqualion qui donne ~ ne conviennent pas
toutes deux : on doit choisir celle qui s'annule pour [x = o,
. / . 3acos*a dt cosa
elle est négative.
3** L'axe instantané de rotation est la résultante des
donc
, fd^Y /d^Y d^ û?cp
\dt/ \dt ) dt dt
deux rotations — autour de 0<z et -7: autour de OZ: on a
dt dt
cet axe décrit uniformément un cône de révolution autour de Oz.
122. Un solide de révolution homogène, de masseM^ peut tourner librement autour d^une des extrémités O de son axe de figure {O fixe). Les divers points du solide sont soustraits à Inaction de toute force extérieure, sauf un point S situé sur Vaxe de figure, sur lequel agit une force F dirigée suivant la perpendiculaire SP=:p abaissée de S sur une droite fixe O.3; cette
force tend à éloigner S de Oz et est égale à — ^ — >
a = OS et (0 est une constante donnée. Les moments d^ inertie autour de OS et d^ une perpendiculaire menée à cette droite par O sont respectivement égaux à Ma^ et 3Ma^. Cela posé, on maintient d'abord OS fixe, et
telle que zOS = 60®, et Con imprime au solide un mouvement de rotation de vitesse égale à itù autour de OS,
MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE. 22^
puis on l* abandonne à F. Trouver le mouvement du
point S.
(Gaen, juillet 1886, 2" question.)
Les angles 6 et tj^ d'Euler peuvent définir la position du point S ; pour les déterminer, nous emploierons les équations de Lagrange. On a, pour la demi-force vive du solide,
I Ma*
T= -(A/?2-f-B^2-+-Gr2)= — [3(/?2-}-^2)^-/-2],
qui, par Tintroduction des trois angles d'Eiiler ?p, 6 et ^^ devient
T = '^ [3(e'24- t^'2sinîe) + (cp'-h t^'cose)2];
d'ailleurs
Mw2<5j Mw2a2 - .^ i^Ma)2a2
sm^O ^ sin^O 2 sin20
on a donc, relativement à (p, l'équation
Ma2(çp'-+-(]^'cosô) = Ma2r = const., (i) r = const. = 2w
et, par rapport à la variable ^,
Ma2(3t]^'sin2ô -i- r cos6) = const.,
— I emSi
, sin26 = const. :r-cos6:
dt 3
or
cos6o= - î
d'où
(2) -^sin20 = ^(i — 2 cosô).
11 est plus avantageux, comme troisième équation, de prendre celle qui est fournie par le principe des forces^
vives,
M u)2a2 Ma2[3(/?2-i-5r2) + ^2] = const.- -^^^^
que Ton peut écrire
/?2-h ^2 = const. — ^ . ,^ ou
-7— -f- -r^ Sin2 = — r-TTi 3
dt^ dt^ 9 sin2e
ej?e2 0)2 r4sin20 — 3 (i — 2cos0)2
0)2 r 4sin2e - 3 (i — 2Cose)2 "j "~ ~9 L sin2ô sin2Ô J'
posant cosÔ — - u^ cette équation devient
ou
'i ,- j du
- Lu yj'i dt =
4ont l'intégrale est
{\bu^ ?^ = cosO = - cos* — r — :
il en résulte que 6 oscille entre un minimum 60=60" et un maximum 6^ = 90®, et que la projection sur xOy de la trajectoire de S est comprise entre deux cercles de rayons
• û rt /3
pn=asin6o= et ox^^ a.
La vitesse de ce mouvement angulaire projeté
est toujours positive et s'annule seulement pour 6 =: 60''; la valeur de i^ en fonction du temps est
1^ = /3arc tangfl /|tang ^ ^^J
\/2 tang — —- j.
Enfin l'angle V du rayon vecteuT avec la tangente de la
MOUVEMENT D'UxN CORFS SOLIDE. 225
trajectoire projetée est donné par la formule
Tanigle V est nul pour 8 = 60'* et égal à 90° pour 8 = 90°; la trajectoire de S, en projection, est tangente à la circon-
férence de rayon a et normale à celle de rayon ^ •
123. Un solide homogène sur lequel n!agit aucune force extérieure a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les arêtes ont respectivement pour Iongueurs a, 2 a, ^a\ il est d'abord en repos, mais il peut se mouvoir librement dans l'espace. Une sphère homogène, animée d'un mouvement de translation uniforme dont la vitesse U est parallèle aux arêtes moyennes du parallélépipède y vient choquer ce solide en un point M situé sur l'une de ses faces perpendiculaires à ses arêtes moyennes, La masse du parallélépipède est représentée par 12 et celle de la sphère par 4; les deux corps sont parfaitement élastiques.
Cela posé, on demande :
1" De déterminer les conditions initiales du mouvement que les deux solides prendront après le choc;
2" D'étudier le mouvement que prendra ultérieurement le parallélépipède , dans le cas particulier où le point M coïncide avec l'un des sommets de la face choquée F.
(Agrégation, 1886,)
I" Prenons pour axes entraînés les axes d'inertie du corps, OX parallèle aux petites arêtes, OY aux arêtes moyennes, OZ aux grandes arêtes ; la percussion sur la face antérieure étant parallèle à YO, il en sera de même des vitesses U^ de translation de la sphère, et V du centre de
ViLLiE. — Comp. U. ij
gravité O du parallélépipède après le choc. Puisqu'il n'y a pas de force extérieure au système, la somme des projections des quantités de mouvement sur OY reste constante ; si donc nous comptons U^ dans le même sens que U, c'està-dire vers les Y négatifs, nous aurons
Exprimons maintenant que les sommes des moments des quantités de mouvement des deux corps, autour des trois axes coordonnés immobiles pendant le choc, n'ont pas été altérées par ce phénomène ; désignant par a, a et ^' les coordonnées de M, par/?4, q^ et /•< les composantes do la rotation instantanée du parallélépipède après le choc, il viendra
(2) 4tU = 4ïUiH-A/^i, o = Br7,, ,/,aU-:— 4aUi-4-C/i.
Enfin, les corps étant parfaitement élastiques, leur force vive totale n'a pas changé
(3) 4Uî=4UÎH-i2V2-HA/?î-hG/-f.
Les équations qui précèdent suffisent a déterminer les cinq quantités Ui, V, /?i, qi = o et /'i qui définissent le mouvement après le choc.
On a, d'après les données,
A = 1 2 ^ — Q.oa-,
B — ipt ^ = I7«-,
ces valeurs portées dans les équations précédentes donnent
on a donc, pour déterminer Ui, l'équation
(4) Uh-Ui-(U--Ui)
les autres inconnues s'eu déduisent aisément.
Dans le cas particulier proposé, faisons, par exemple,
- -> V = arz, nous aurons
2'* Après le clioc, la sphère et le centre de gravité du parallélépipède auront des mouvements rectilignes et uniformes, avec les vitesses U< et V. Le mouvement du parallélépipède autour de son centre de gravité O sera celui d'un solide abandonné à lui-même, tournant autour d'un point fixe, avec les données initiales
l'axe instantané étant la bissectrice de ZOX.
Dans le mouvement ultérieur, la force vive 2T du système reste constante et égale à
il en est de même de l'axe G du couple résultant des quan-
tités de moiivemeiU
G2 = AV+ B2^2^ C2/-2= ( A2-1- G2)/?2 = 17 /i^Va^U*,
il est dans le plan ZOX et fait avec OZ un angle Ç dont la tangente est 4-
Nous sommes ici dans le cas de G^ — 2ÏB = o : la polhodie se réduit à deux ellipses situées dans les plans
L'équation différentielle de Therpolliodie dans le plan fixe auquel reste langent l'ellipsoïde d'inertie est, en prenant pour origine le pied P de la normale OG à ce plan et désignant par II et), les coordonnées polaires du pôle,
v/(A — H)(B — C) — ABCw* x/Ûa'^ —lyoo a^u^
ou, en posant k
) y/ 1 7 <^ -dk — — ,
intégrant et faisant \ = o pour u = A', on a
-^ A = loff I - 5 ^\u
sJT-
on
ik 6
c'est Téquation d'une spirale asj^mptotique au point P. On aura les composantes de la rotation suivant les axes
MOUVEMENT d'uX CORPS SOLIDE. 229
entraînés, en joignant aux formules qui donnent aT et G^ la relation
posant, pour abréger,
55 /T7<^ on obtient
I — e^^^ 21x1/17 e'IJ''
Pour déterminer les trois angles d'Euler, nous prendrons pour axes de directions constantes Oz parallèle à G, Ox parallèle à la direction primitive de OY, et Oy perpendiculaire aux deux autres^ les formules deviennent
'i.e^^^ Se'l^/
cos6=-^^ » tangro =
v/i7(i -f- e^lJ-M ' \/ 1'-] {\ — e^^^)
i]^ rzi 5 [x / H- arc tang
Les composantes p qI q sont toujours égales et tendent vers zéro; l'axe instantané est constamment dans le plan bissecteur du dièdre OY et tend à se confondre avec OY;
8 part de î^ pour arriver à -> cp varie de à zéro, i( croît
indéQniment et -^ tend vers 5[Ji; le mouvement du parallélépipède se rapprochera de plus en plus d'une rotation uniforme autour de O^ vers lequel tend Taxe moyen.
23o DPXXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
