CHAPITRE VI
124. Un fil flexible et inextensible y sans masse, de longueur /, passe sur une ti^ès petite poulie O et porte à ses deux extrémités deux points matériels M et M' de masses m et m' .
Le point M est assujetti à se mouvoir sur une droite fixe Ox\ il est attiré proportionnellement à la distance par un point fixe A de cette droite.
Trouver le mouvement des deux points M et M', ce mouvement étant supposé se faire dans le plan guipasse par Ox et M'^,, position initiale de M^
On fera OA = a et l'on représentera par [xm l'attraction de A sur M à la distance i .
On supposera qu'à l'origine du mouvement le point M est en O et qu'il a reçu une vitesse h dirigée de O vers A, que le point M' a reçu une vitesse k perpendiculaire sur OM'j, ( ^ ).
Effectuer les quadratures lorsque lz=.a et trouver la. trajectoire de M'; faire complètement les calculs en supposant
(École Normale, juillet 1880.)
(*) La donnée A' ne peut représenter que la composante normale à OMi de la vitesse de M', car. cette vitesse a évidemment une composante h dirigée suivant M^O.
Le théorème des aires s'applique au point M' et fournit l'équation
étant compté dans le sens de A*.
Le théorème du travail et des forces vives appliqué à tout le système donne, en appelant r et p' les vitesses de M et M',
= 2ixni j (a — x) dx = [i m(2ax — .r^);
cette équation devient, en tenant compte de la relation
(3) ^ dP' dt^
( — ( 771 -1- m')h^-\- m' k^ H- \xm{l — r){ia~- l -{- r).
Ces trois équations déterminent r, ^ et 8 en fonction du temps; on en tire les expressions
r dr
z dt = \/ ni -h m'
r\/iimr\l — r){'za —l-h r) H- r^ [{m -{- m')h'^-\- m'k^] — m'I^k'
qui se ramènent aux intégrales elliptiques.
Dans le cas de /= a, ces formules deviennent
[ ± dt = \/ni -H ni' ■ = — — =r^: =:^====
] /{x mr^ («2 __ ,.2^ | 7-2 |^(,7j | ,n') h'^ -i- m' k^] — m'I^ k
zh (iÔ = v/
ak dr
r\/iLmr^{a'^— /-i) + r^ [(m + ni')h^-^ m'k^] — m'I^k^
elles s'intègrent immédiatement en prenant r^ pour variable dans la première formule et — dans la seconde.
Avec les données partie iilJères de l'énoncé, Téquation dîfférenlielle de la trajectoire devient
d'où
3 H- 2v/*2 COSb
en prenant pour axe polaire une droite faisant avec OMo un angle 9o donné par la formule
cosOo= — p, Oo= -T-;
la trajectoire du point M' est une courbe dont les rajons vecteurs sont les racines carrées de ceux d'une ellipse rapportée à son axe focal et à son foyer de droite; elle coupe le cercle /•= a en deux points symétriques par rapport à l'axe polaire et sous des angles de 45", puisque les composantes A el A" de la vitesse initiale sont égales. La seule partie de cette courbe constituant réellement la trajectoire de M' est la portion intérieure au cercle r = a\ car, d'après les conditions physiques du problème, x=.a — r ne peut recevoir de valeur négative.
11 reste encore à déterminer r et 8 en fonction du temps ; la première des formules (4) donne
(6) /'*=: «^[3 -4- 2v/2 cosv/3[jl(^-^t)],
T étant une constante déterminée par la condition
Enfin l'élimination de /- entre les formules (5) et (6) donnerait l'expression de cos9 en fonction de /, mais on
arrive à une équation plus symétrique en intégrant l'équation des aires
^^ 3 -h 9. v/5 cos
(3^-'^.v/'j»)cos2- -H (3 — 2v^) sin2-
d'où
(7) tang- 1:= (3 -h ^Y'ij tangî^-' (t-^'^i
