Déterminer le mouvement du système de deux
points pesants réunis par une tige rigide sans masse;
chacun de ces points éprouve, en sens contraire de sa
vitesse, une résistance proportionnelle à cette vitesse.
On connaît la position initiale de la tige et Von suppose
les vitesses initiales des deux points situées avec la tige
dans un même plan vertical.
(Lille, juillet i883.)
Prenons, dans le plan vertical dans lequel s'effectue le mouvement, deux axes, Tun Ox horizontal et l'autre Oy vertical \ soient x ely les coordonnées du point de masse m , x' et y celles du point de masse w', Xf et yt celles de leur centre de gravité. Puisqu'il s'agit de points matériels, on doil admettre que la résistance de l'air est proportionnelle à leurs masses; on a donc les équations
,.d^xy , / dx ,d.v'\ ,.dx\
^ dt^ \ dt dt I ^ dt
[m -h m')--r— = — k-itn -i- m ) ' - — {m -h ni')g,
qui donnent le mouvement du centre de gravité G
Xi-= a-r- a' e-^'^,
La trajectoire du centre de gravité a une asymptote
Pour déterminer le mouvement de la tige relativement à des axes en translation avec ce point, on ne doit tenir compte ni des forces d'inertie ni de la pesanteur; restent donc les résistances de Tair. Or chacune de ces résistances se décompose en deux autres, dues l'une à la vitesse d'entraînement, l'autre à la vitesse relative; la résultante des forces dues à la vitesse d'entraînement, passant par le centre de gravité, est sans influence sur le mouvement relatif; on a donc, en appliquant le théorème des moments des quantités de mouvement autour du point G,
dt\ dt . dt J dt dt
OU
~dV' ~ ^' dt' dont l'intégrale est
Les six constantes sont déterminées par les données initiales.
126. On considère, dans un plan horizontalyOx^ une tige homogène OA {fig> 11) de masse M et de longueur I mobile autour de son extrémité O qui est fixe, puis une deuxième tige homogène AB dé même masse M et de longueur double il articulée à la première à V extrémité A; le milieu G de cette deuxième tige est attiré par le point O en raison inverse du cube de la distance » Trouver le mouvement de ce système.
On appellera 9 V angle ^OA, cp V angle AOG, MA- le moment dHnertie de la première tige par rapport au point O et de la deuxième par rapport au point G, et
JJLiM
la valeur absolue de la force attractive issue du
OG point O.
On supposera que le système parte, sans vitesses ini-
tialeSy de la position pour laquelle 9 = o, cp = '^ ^/^ par
TT
suite, OAB= -•
(Ecole Normale, juillet i885, .i" question.)
La seule force extérieure inconnue agissant sur le système étant la réaction du point fixe O, nous l'éliminerons
Fîg. 21.
par l'application du principe des forces vives et du théorème des moments des quantités de mouvement autour du point O ; nous aurons ainsi les deux équations nécessaires à la détermination des inconnues 9 et cp.
La somme des moments des quantités de mouvement de lout le système, autour du point O, est constante; le mo-
ment de la tige OA est M-k'-j-* Pour trouver le moment
de la tige AB, nous nous appuierons sur le théorème suivant (Delaunay, Mécanique rationnelle, p. 466) :
« La somme des moments des quantités de mouvement
d'un Système par rapport à un axe lîxe se compose de deux parties, dont l'une est ce que deviendrait cette somme si toute la masse du système était concentrée en son centre de gravité, et l'autre est une somme analogue de moments, prise dans le mouvement relatif du système rapporté à des axes de direction constante menés par son centrç de gravité, et par rapport à un axe parallèle à l'axe fixe passant par ce point. »
La première partie a pour expression
M X ÔG^^(e -+- Cp) r= 4M/2(Ô'-f- Cp')C0S2cp,
et la seconde
MA-2(Ô'-f.2cp');
d'où Téquation
(i) 2M(/:2-+-2/2cos2o)(ô'-H<p') = coDSt. ;
or, en vertu des données initiales, cette constante est nulle; donc 9'-t- cp'= o,
(2) e + o = OoH-cpo= 7;
le point C se meut sur la bissectrice de Tangle a;Oj'.
Passons à l'application du principe des forces vives : la force vive de OA. est
celle de AB se compose de deux parties, l'une,
u(^^j =4M/2cp'2sin*cp,
est celle du centre de gravité auquel on aurait transporté toute la masse; l'autre est celle qui serait due au mouvement relatif autour du centre de gravité
MA:H0'-Haçp')2= -\-cp'2;
(Pou l'équalion
— — 2 jji M 1
-— = îxM
OG VOG /o
cos^o
que i*on peut écrire, en éliminant ^'= — o\
Le premier membre de cette équation étant essentiellement positif, il faut que cos2'^<<o, et, comme c5o= 7'
on doit avoir
r Su
'^ commence donc par croître; pour c5r=r-, 9 = — y,
— L = 00, le point G est en O, et la tige AB est repliée sur
la tige AO. Pour continuer l'étude du mouvement, on ne peut plus invoquer que des raisons de symétrie; 8 con-
tinue à décroître, et 9 -i- îp saute brusquement de y à ~ •
Le point G passe sur la bissectrice de l'angle x^Oy^ ^ et il se produit une oscillation symétrique de la première par rapport à la bissectrice de xOy\ jusqu'à ce que
^ ^- ; alors cp = --t -%J = o, et 'o ne peut plus que dé-
croître, tandis que 9 croît jusqu'à zéro; le système revient alors dans sa situation primitive.
127. Deux points M et M', de même masse m, mobiles dans un plan horizontal, sont reliés lUtn à l^ autre par un fil inextensible et sans masse, de longueur 2 /.
Le point M est attiré par un point fixe A et le point W par un point fixe Pi! proportionnellement à la distance. Trouver le mouvement du système et déterminer la tension du fil.
On prendra pour axe des x la droite A' A et pour origine le milieu de cette droite ; on désignera par ia la distance h! h.., par x et y les coordonnées du milieu G de M' M, par 8 V angle de GM avec Ox, enfin par
Y-mAMy ^mhlW les valeurs absolues des forces attractives issues des points k et h! .
(Paris, juillet i885, 2" question.)
Les équations du mouvement du centre de gravité sont
ini -j-^ — — [xni{T H- /cosG — a) — \xm{x — /cosO - - a)
ou
dl^ ' dV' ' -^ '
le point G se meut comme s'il était attiré par l'origine proportionnellement à la distance ; il décrit donc une ellipse ayant ce point pour centre.
Le mouvement du système relativement au centre de gravité est celui d'un solide tournant autour d'un axe fixe \ il est donné par la formule
d^ S^ILF 201LF dt^ ~ î: mr^ ~ ~%'ml^ '
prenons la force agissant sur M, ses composantes sont X = — \xin{^x -\- /cosO — a), Y = — V-f^^y + /sinG), et les coordonnées relatives du point M
a7i=/cosG, j'i^/sinG,
d'où
XiX — y\\. = \t.ml(x sinG — y cosG — a sinG);
le moment de la force agissant sur M' se déduit du précédent en changeant les signes de / et a, ce qui donne, pour la somme de ces deux moments,
d'où Téquation du mouvement relatif
c'est celle d'un pendule simple de longueur L r=r — .
Soit N la tension du fil : prenons l'une des équations du mouvement du point M
—^—dti ==- -Sin6-jx(j + /s,ne);
d^ y elle devient, en tenant compte de la relation -— =z — ^y^
/ cos -7— — sin -r— ) — — 1 h M. n sm :
\ de- dV- 1 \m ^ I
l -77; = ^ ( ;/- ) 'i'\^ a(cosU — cosOo) = i]i.a{k 4- cosO),
d'où
\ :: jjt.77?a I 3 cosO
si elle devenait négative, les points seraient indépendants.
128. Deux barres matérielles homogènes j égales, de longueur il et de masse^l sont articulées l'une à l'autre par une extrémité A*, ces deux barres sont lancées dans un plan horizontal XOY sur lequel elles glissent sans frottement. Trouver le mouvement du système et indiquer quelles doivent être les conditions initiales pour que V angle ^S^^ puisse devenir nul.
On appellera i, tj les coordonnées du centre de gra- \Hté G du système, V angle de la droite GA avec OX, 17. V angle BAB' des deux barres et MA'^ /^ moment d'inertie de chaque barre par rapport à son milieu.
(Paris, novembre 1 885, ss" question. )
Aucune force extérieure n'agissant sur le système, le mouvement du centre de gravité estrectiligne et uniforme ; ce point divise en deux parties égales la droite CG {fig* ^'^)
Fig. 22.
qui joint les milieux des barres. Le mouvement du système, relativement à des axes G^r, ijy en translation avec le centre de gravité, peut être traité comme un mouvement absolu, sans addition d'aucune force, d'où il résulte que, dans ce mouvement relatif, la force vive, ainsi que la somme des moments des quantités de mouvement du système relativement à l'origine G, seront des constantes; les deux équations ainsi obtenues suffiront à la détermination des angles et a.
Soient X ei y les coordonnées du pqint C, x^ et )' celles du point G, on a
xz=^ — x'= /sinasinO, y = — y' = — ^ sinacosO;
DYiNÀMlQUË DES SYSTÈMES. 2^\
la force vive de AB est, dans le mouvement relatif,
dt^ V dt \
et la somme des moments des quantités de mouvement de cette barre, par rapport à G (n** 126),
= M/2sin2a
dt dt
dt 3 dt
J^es quantités analogues, pour la barre A'B', se déduisent des précédentes par le changement de a en — a ; on a donc les deux équations
^ (i -f- 3 sin2a)+ ^(' + 3 cos2a) = c^,
(n-3sin2a)^- =c', ^ ' dt '
que l'on peut écrire
dt 1 -T- 3 sin^a
doL^ (H-3sin2a)c2— r'2
dV^ (H-3sin2a)(i-i-3 cos^a)
La première de ces équations montre que le mouvement de la ligne GA est révolutif; sa vitesse angulaire est néces-
rJ - ^
sairement comprise entre c et - •
Quant au mouvement de l'une des tiges par rapport à l'autre, c'est-à-dire aux variations de l'angle a, sa nature dépend du signe de c- — d-,
i® c^<^c'^^, — Soit a, le plus petit angle positif satis-
ViLLiÉ. — Comp. H. i6
faisant à l'équation
comme ao est nécessairement supérieur à a,, l'angle a variera entre les valeurs aj et tt: — a,, qui annulent -^ ;
le mouvement de Tune des tiges par rapport à Tautre est oscillatoire et périodique.
a" c''= c'-. — L'angle a, est nul, mais il n'y a pas oscillation, la valeur limite zéro ou tî de a ne pouvant être atteinte qu'au bout d'un temps infini.
3" c"->c'^. — Alors -T- ne s'annule jamais, le mouvement est révolutif, à moins que l'on admette qu'il y ait choc pour a = o ou a = 7î; c'est d'ailleurs le seul cas dans lequel l'angle des deux barres puisse devenir nul. Il est aisé d'obtenir la condition à laquelle doivent satisfaire les données initiales pour qu'il en soit ainsi : on a
d'où
c2 =(i-4- 3sin2ao)e'o2-h(n-3cos2ao)a'o2, c'2=(H-3sin2ao)''6'o2,
«'0^ A,2 3sin2ao(F-4-3sin2ao) «o->^ i-H3cos2ao *
129. En deux points H et IF dUuxe horizontale sont fixées les extrémités dhin fil pesant^ homogène et inextensible y qui supporte en son milieu M une petite masse dont le poids est égal à celui du fiL Quel doit être le rapport de la longueur HH'= ir à la longueur il du fil, pour que les deux portions de cordon qui se rencontrent en M soient orthogonales, quand le système proposé est en équilibre?
(Gaen, novembre i886, 2* question.)
En vertu de la symétrie, les deux portions de fil MH, MH' sont deux arcs ^gaux de chaînette, symétriques par
rapport à la verticale My, Pour la même raison, les tangentes à ces courbes en M, devant être orthogonales, font chacune avec l'horizontale x'Mx un angle de 45®. Il reste donc à déterminer les constantes de l'équation delà chaînette
d'après les conditions de Ténoncé.
Exprimant d'abord que cette courbe passe à l'origine M, on a
le coefficient angulaire de la tangente à la courbe en ce point devant être égal à l'unité, on a la seconde condition
La relation entre / et /• s'obtient en exprimant que la longueur MH du fil est égale à /
La quatrième équation, permettant l'élimination des trois constantes c, Xq et a, s'obtiendra en écrivant l'équilibre de la masse M, dont le poids est i /e, e étant la densité ou poids de l'unité de longueur du fil; si T est la tension du fil- en M, on devra avoir
T cosy = It.
D'ailleurs, la tension T en un point quelconque est donnée par la formule
elle est donc égale à ce au point M, d'où Téquation
Les équations (p.) et (4) donnent
d'où
--• a^lspi. ^ Ispi — a
et, par suite,
e "=v/îï-+-i, e" = ^ — I.
Portant ces valeurs dans l'équation (3), elle devient
(/â -4- i) e ' — 4 «' — (/a — l) = O, d'où
C'est le rapport cherché.
130. Un tube rectiligne homogène AB, de section infiniment petite et de longueur 2 a, glisse sans frottement sur un plan horizontal. Un point matériel M, dont la masse est égale à celle du tube, est mobile, sans frottement, dans l^ intérieur du tube. Trouver le mouvement du système et la pression du point M sur le tube.
On appellera 6 V angle de KR avec un axe fixe Ox et ir le segment CM compté à partir du milieu C du tube.
On examinera en particulier le cas où la vitesse initiale du centre de gravité du système serait nulle, et
Von indiquera dans ce cas les différentes formes de la
trajectoire du point M.
(Paris, novembre 1887.)
Le système considéré se déplacera dans le plan comme s'il n'était soumis à l'action d'aucune force extérieure; son centre de gravité G, milieu de CM, aura donc un mouvement rectiligne et uniforme.
Etudions le mouvement du système relativement à des axes en translation avec G; les théorèmes généraux de la Dynamique s'appliqueront à ce mouvement relatif, sans addition d'aucune force; nous ferons donc usage, pour déterminer les inconnues r et 6, du théorème des forces vives et de celui des moments autour du point G.
La force vive de M est m — — -j-^ ; celle du tube est
égale à la force vive d'une masse ni concentrée en G, soit
la même quantité que précédemment, augmentée de la
force vive
d^ ma^- (m
relative à des axes en translation avec G, d'où l'équation
dr^ d%^ f a^\ T
^ ' dt^ dfi\ 6 / m
Le moment de la quantité de mouvement de M autour de G est ntr'-T-; celui du tube est égal au moment de la quantité de mouvement de son centre de gravité, auquel on aurait appliqué toute sa masse, soit mr- -r > augmenté de
I ^ = — ^ -j-' Le moment de la quantité de mouvement du système étant constant, on a la seconde équation
dt\ 6
9 varie donc toujours dans le même sens.
De ces équations, on lire la relation enlre /* el t
(3) -jTi-r- ^^-/^^ dl^±.dr^
l'équation différentielle de la trajectoire relative du point M est
( \ ) dii =— j-
la courbe a une asymptote située à la distance ± ~ de Torigine.
^M -77 ) est positii ou encore si -; -, r >> o, /* varie
\dt / ^ h k'^
toujours dans le même sens et croît indéfiniment en valeur absolue.
Dans le cas où Ton a simultanément ( ;t- ) <! o et j. 7T <^ ^> '' décroît d'abord jusqu'à son minimum
\/ Ti ^' pour croître ensuite jusqu'à l'infini. Enfin, si
\ -Tf) = o, la dérivée seconde ayant alors pour valeur —^y r va en croissant, ce qui est nécessaire d'ailleurs
pour que le radical soit réel.
La trajectoire relative du point M devient sa trajectoire absolue dans le cas particulier de l'énoncé.
La pression N du point M sur le tube, comptée dans le sens des angles 6 croissants, est donnée par l'équation du mouvement de ce solide autour de son centre de gravité
dt^ -^"^'^^
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 2/j7
/représentant la valeur absolue CG. Or l'équation (?)
donne
d^O a A /' dr
on a donc
ma^X dr V \ ^ /
la pression du point M sur le tube est négative ou positive, suivant que r croît ou décroît, ce qu'il était aisé de
prévoir d'après l'équation (2), qui montre que -7- varie en sens inverse de r-,
131. Un tube circulaire homogène, de section infiniment petite et de masse M, est mobile, sans frottement y dans un plan horizontal, autour d^ un de ses points O supposé fixe {fig- 28). Un point matériel m de masse m
jy
est mobile, sans frottement, à V intérieur du tube et repoussé par le point O proportionnellement à la distance. Trouver le mouvement du système, en supposant que le tube et le point soient abandonnés à eux-mêmes sans vitesses initiales.
On appellera R le rayon du tube, Mk- son moment cV inertie par rapport au point O, V angle que fait le diamètre OA avec un axe fixe Ox^ x l'angle que fait le rayon vecteur Om avec le diamètre OA; enfin, 80 ^^ ao les valeurs initiales de ^ et ol,
(École Normale, i888.)
Les seules forces exlérieures au système étant la force répulsive, la pesanteur, la réaction du plan et celle du point O, la somme des moments des quantités de mouvement autour de ce point est constante; en joignant à cette relation celle des forces vives, nous aurons les deux équations nécessaires à la détermination des angles 8 et a.
Le moment de la quantité de mouvement du tube est
MA"- -7- j et celui du point m
nir^ ——, = 4mR2 cos'^a-— -, — - :
at dt
leur somme étant nulle en vertu des données initiales^ on a la première relation
d^ 4/?zR2cos2a doi
di ~~' MA^-h 4mK2cos2a d} '
qui montre que 8 et a varient en sens inverse et atteignent simultanément leurs valeurs extrêmes.
JA j
La force vive du tube est MA*-^— ? et celle du point m
dt^ ^ \dt^ L ^' J ^
enfin le travail de la force répulsive a pour expression
ni\i^ I r dr = im[i''K^ (cos^ y. — cos^Œo),
d'où la seconde équation du mouvement
Mk^ -7-: -^ 4 m R2 ( -— - -^ , cos2a
— 4w|JL*R^(cos-a — cos^ao);
elle exige que cos^a^cos-ao, d'où l'on conclut que a oscille entre dz ao et 6 entre ih Qq'
La relation différentielle entre 6 et a est intégrable ; posant
et prenant pour axe des x la direction du diamètre OA quand a est nul, on a
H- a = X arc tang(X tanga);
si l'on remarque que X<; i, on reconnaît que Q et a sont toujours de signes contraires et que | a | >> | Q |.
132. Deux points pesants M et M', liés entre eux par une tige rigide et sans masse, de longueur a, sont assujettis le premier M à décrire une circonférence verticale, non matérielle, dont le rayon OM a la même longueur que la tige MM', et le second M! à glisser sans frottement sur le diamètre horizontal OA de cette circonférence , pendant que le plan de la circonférence tourne, avec une vitesse angulaire constante w, autour de son diamètre vertical OB :
1° Déterminer le mouvement relatif du système des deux points, en supposant qu^à l^ époque initiale le point M soit en A et animé d^une vitesse ascendante Vq,
1^ Condition pour que le mouvement du point M soit révolutif ou oscillatoire.
25o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
3^ Trouver les positions d^ équilibre et reconnaître celle pour laquelle V équilibre est stable,
(Lille, juillet 1886.)
Prenons l'horizontale OA pour axe polaire, et soit 6 l'angle AOM compté de OA veis la verticale ascendante OB; pour déterminer l'unique inconnue 8, nous appliquerons le principe des forces vives au mouvement relatif du système des deux points M et M'. Aux forces réellement agissantes, non compris les liaisons, il suffit d'ajouter les forces d'inertie d'entraînement des points M et M', qui sont horizontales et ont respectivement pour valeur
Les forces vives de M et M' sont
11'-' ^''^ dt^ '
h; travail élémentaire de la pesanteur est
— m g a cos6 t/0, et les travaux des forces d'inertie ont pour expression
— /nto^a* sin6 cosô rfô, --4 m'to^a^ sinO cosO ofô; d'où l'équation du mouvement relatif
— mi'j — imga j cosOt/Ô — {m -h ^ni')(ii-a' 1 sin26^/6
= niv^ — 'inxga sin6 — (m h- 4''i')w2a* sin-6.
Le premier membre de celte équation étant essentiellement positif, il en sera de même du second, et pour
que -T- ne puisse s'annuler, c'est-à-dire pour que le mouvement soit révolutif, il faut que le minimum absolu du
second membre
/npj — 1 mga - - (m -h 4 "i' )^^ a^ > o ; il sera oscillatoire dans le cas contraire. Dans cette der-
nière hypothèse, soit 8| l'angle compris entre o et - qui
annule -j-; Ja racine négative de 1 équation -y- = o sera supérieure à l'unité en valeur absolue si
et alors le point M oscille entre les points ôi et — tt — Oi . Si, au contraire, la seconde racine est supérieure à — i,
soit 60 l'angle compris entre o et — - qui lui correspond,
Ma
l'oscillation aura lieu entre Qi et O2.
Les positions d'équilibre s'obtiendront en égalant à zéro le travail élémentaire; d'où l'équation
^(6) = — mj^cosO — ( /?i -i- 4 /^' ) ^^ ^ sin 6 cos6 = o,
dont les racines sont
cosO — o, sinO = —
(m H- 4^*')^^^' si l'on a
la seconde racine est admissible et, comme
y'(6) = m^sinô — (m -\- 4/n')a)2a COS26
prend alors la valeur
(/n-^4m')to2a-H , , ^ ^/^...^^ <^^
les deux valeurs de l'angle répondant à cette racine sont des positions d'équilibre stable, tandis que les solutions
==1= - sont des positions d'équilibre instable.
Si la seconde racine est à rejeter, on reconnaît aisément que Q = - répond à un équilibre instable et = — - à un équilibre stable.
133. Un cercle matériel y homogène, de masse M, situé dans un plan horizontal, tourne avec une vitesse angulaire initiale ioq. autour d^un axe vertical passant par son centre. Un point matériel m, partant du centre, marche avec une vitesse constante v le long d^un des rayons du cercle. On demande quelle sera la vitesse angulaire du système au temps t? Quel doit être le rapport des masses pour que cette vitesse soit devenue la moitié de la vitesse angulaire primitive au moment où le point matériel arrive à V extrémité du rayon?
f Bordeaux., juillet i883, a* question.)
Le point matériel m est nécessairement soumis à Taclion, soit d'une résistance passive dirigée suivant le rayon /7iO, soit d'une force centrale attractive, puisque son mouvement relatif, sur le rayon, est uniforme; cette force mio^r étant la seule force extérieure agissant sur le système, la somme des moments des quantités de mouvement autour du point O est constante, d'où l'équation
^ («ir2-i- J MR2) = const. = \ MR^wo,
en appelant R le rayon du cercle; on en conclut que l'on doit avoir m = -- pour que -r.'=' — quand r = n.
De l'équation des moments on tire Texpression cherchée de la vitesse angulaire
d^ MR2(oo
dt MR=«-i-'2m(^2/2'
intégrant et posant - — =A-, on a
t= - tang
ktiiQ
c'est la loi du mouvement de rotation du cercle. La trajectoire du point m a pour équation
r — vt = k tanjî -r — ,
elle est asymptotique à la direction Q = — —; la distance 3 de l'asymptote à l'origine est
= h m — ; — = lim
dr V k^-r~ I
134. Une aire matérielle plane, de masse M, repose sur un plan horizontal H et peut tourner dans ce plan autour d^un de ses points O supposé fixe. En un point A de Caire {fig- 24) ^st attaché un fil flexible sans masse, qui passe par une petite ouverture pratiquée en B dans le plan H, à une distance OB du point O égale à la distance OA = a du point A. Ce fil ABC, de. longueur constante /, porte à son autre extrémité C, un point pesant de masse m. Le système étant au repos et dans sa position d^ équilibre stable, on applique à Vaire une percussion connue comprise dans le plan H :
I ° Calculer la vitesse angulaire due à la percussion, ainsi que la vitesse linéaire du point C ;
a** Etudier le mouvement ultérieur du système.
On désignera par k le rayon de giration de l^ aire relatif au point O, par \k le moment de la percussion donnée relatif à ce point O, et Von supposera l> ia,
(Nancy, novembre 1884.)
Le système étant à liaisons complètes, nous prendrons comme variable indépendante l'angle BOA = 0, qui est nul dans la position d'équilibre stable. L'aire matérielle est soumise à l'action de deux percussions, la percussion donnée de moment connu [jl par rapport à O, et une percussion en sens contraire provenant de la tension du fil.
Fig. 2^.
Or, les forces agissant sur un fil en mouvement, mais sans masse, se font nécessairement équilibre, puisque les forces d'inertiedu fil sont nulles; donc la tension T du fil est à
chaque instant la même en C et A. Cette tension étant la
dz force qui communique au poinl C la vitesse j- à la fin
dz
de la période de choc, son impulsion est égale à — /)i -f^;
donc le moment de cette percussion agissant sur A est
dz ^ ,, -, , ... , . d(i
ma-j-y et l on a, pour déterminer la vitesse angulaire lourde la plaque à la fin du choc, Téqualion
- . . , rfô dz
M k^ -.- = ma -r-
dt dt
D'ailleurs, l'équation de liaison
^ = l — '>.a sin - ,
qui suppose o << << stt, donne
d'où enfin
dz rfO
-r- = — « COS - -7- )
at 2 clt
|JL ( ^^\ ^V-
Pour étudier le mouvement ultérieur, nous appliquerons à tout Je système le théorème des forces vives
— ^. , — i wi?-» sin - ;
c'est Féquation diflerentielle du mouvement; elle entraîne la condition
4 inga ( M /»:2 -1- nia'^ ) ' ^ -i'
les circonstances du mouvement dépendent de la grandeur de h'K
1" ft- >> 1 . - La plaque effectuera une révolution complète, et, quand A repassera en B, on aura -j- = w,,; à ce
moment, la tension du fil produira une percussion sur la plaque due au changement brusque du sens de la vitesse du point C; soit tO| la' vitesse angulaire à la fin de la période de choc, on aura la nouvelle équation
M/c2(tOi — wq) — — ma*(a)i-f- too), MA-2- mqg ]\U-2 ^la^ "^^ ~ "^Hl k^ -,- ma'- ~ '^ (MT2 -+- /na2)î '
([ui suppose essentiellement Mk^ >> ma- ; la quantité w^ ne peut être en effet négative, puisque le moment de l'impulsion due à la tension serait positif, tandis que l'accroisse-
