III. — Calcul des coefficients de I, M, N, J

Le calcul des invariants I, M, N, J est ainsi réduit à la détermination de 33 coefficients numériques, qui peuvent être évalués par deux méthodes, Tune qu'on va développer, l'autre qu'on indiquera comme moyen de vérification.

Les identités qui définissent les polynômes [I], [M], [N], [J] ont lieu

quels que soient U, V, W. Elles resteront identités en V et W si l'on y fait U = o.

Porons

a = V -+- W et A = (V + W) 2 - 1 2 VW,

et désignons par (yj) la valeur de y] pour U = o. On a les identités

]-3W2M a?8 A>^' s -= 2 (^)[ a W(^)(/,)-V(g. 2 ) (/ J], ' - 3W^ N aPï AX^ + '= 2 (/ s ) [ 2 W(/,)(^)- V(/ a )(^ ( )],

Nous sommes donc conduit à calculer les expressions (y)) et (g-,). Il suffît pour cela de se reporter à la définition de ces expressions et aux valeurs de A, B et D. On obtient successivement

(/J = 3<(-ioO-A [4<4-i8<t.(<7:-A )], (/ s )==2a;[ 2ffo -i 2 W]-A (4<x:)>

ou, en simplifiant,

((/.)=— 2(t [io<t;h-ii^A — 9A*], (a) !C/;)=-a4o;[W-V]W ï

De même

(^) = A [6<-45a>:-A )]-3<[-,o ffo ] (^) = 6A,<-3<7:(2<7 fl -i2W),

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGENES. 3j

ou, en simplifiant,

(^) = 3<r:[io<r:-i3a:A +i5A ï o ], (3) i(*,) = 36*:[W-V]W,

i° Calcul de [ï].

L'identité

2 W J î Nf, =- î x 3 X 36 V( y - W) J VW(io<- i3oJA t + I5AÎ), 2V A X P+6î+8 = -^x3«< 8 [2a: + A ][ioa:-,3a:+i5A;]K-A ]

a lieu quels que soient A et <r . Elle exige que Ton ait

c'est-à-dire que l'expression de [I] ne contienne pas de termes en DA°, B'A», BA'etA 9 .

Si donc on pose

[I] = W(t» — <r a ) [aD*+ bh'BA

+ cD , A' + «/DB , A , -+-cDBA*-+-/B , A'], on a identiquement

fl<+ia;A )+ rf<A;+(c+/)a;A;+d;

=- 2 j .3 ï [ 2 <7;-a <7:-a:j[io<7:-i3a <7:+i5a:].

Les valeurs de a, b, d, (c -+-/") et e sont ainsi connues et l'on peut écrire

[IJ=— a'.3»W(T« — <r»)[aoD» — 36D a BA + Y DÎ A*