DEUXIÈME PARTIE

GÉNÉRALITÉS SUR UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS SIMULTANÉES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE (A).

1 . Considérons le système de trois équations linéaires simultanées aux dérivées partielles du second ordre :

r = a t p -h a 2 q -+- a, z, (A) { s = b i p-hb 2 q + b s z,

t = c 4 p-hc 2 q-\-c s z,

où/;, q y r, s, t désignent, suivant la notation de Monge, les dérivées partielles de la fonction z par rapport à x et à /, et où a, &, c sont des fonctions rationnelles des variables x et y.

Pour que ce système admette des solutions communes, il faut et il suffit que les conditions

dt ds ds dt

dy dx dy dx

soient remplies identiquement. Nous reviendrons plus loin sur ces conditions d'intégrabilité.

Ces conditions vérifiées, le système (A) admettra trois solutions linéairement indépendantes, soitz,, z 2 , z s , et toute solution de ce système sera une fonction linéaire de z s , z 2 , z,

z = lz t + mz 2 + nz s ,

/, m, n étant des constantes arbitraires ( f ).

(') Voir Appell, Journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville, t. VIII, p. 62 et suiv. ; 1882.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.