Désignons par D le déterminant
Pi P* P*
non nul par hypothèse. Il satisfait à la relation
rflogD == (a, -h b 2 )dx -+- (c 2 -+- b t )dy.
En effet, d'une part, le système (A) équivaut au système d'équations aux différentielles totales
dz = pdœ-hqdy,
dp = (a h p -\-a 2 q-*~ a 2 z)dx-\- {b^p + b^q -+- b % z)dy,
dq = (b i p-+-b % q -+- b % z)dx -+- (c % p -\-c 2 q + c t z) dy,
et, d'autre part,
rfD =
dz t
Pi
dpi
<li
dq (
Le premier déterminant est nul ; le second est égal à (a i dx -+• b h dy)D 9 et le troisième à {b 2 dx + c a dp)D ; d'où résulte immédiatement l'équation écrite. Ainsi
T\ == ^•(n,+*i)rfx+(r,4-ft 1 )rfy
Posons maintenant
u—— et p = — .
On a évidemment
El
îl
El
îl z 2
El
îl Z*
OU
uvz
d'où enfin
ÎL
Ti „* fàu àv
* \dx dy
= uvz,
£ 4 du z 2 dx
z K d\> 5 3 dx
z K du T 2 dy
z K dv z* ày
du dv
dy dx
Le rapprochement des deux expressions obtenues de D conduit à la relation importante
\dx dy dy dx)
5. Si, dans le système (A), on remplace z par uZ ou vZ, le système fourni par ce changement de fonction devra admettre une intégrale commune avec le système donné (A).
Faisons d'une manière générale le changement de fonction
et désignons par P, Q, R, S, T les dérivées de Z par rapport à x
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.
et ky. On a
pn + zjî,
dx
r=RII-|- a p£+zJ?,
ôx dx*
= sn -h
p dn
ày dn
< =TII-h2Q^ + Z
dxdy
Le système proposé devient
adnip
nd#J
