flj

ày

« p+ h-sd7]Q + h H -n( c, S

En exprimant que ce système admet une solution commune avec (A), on obtient l'équation suivante vérifiée par les fonctions u et v :

dn dn

a <dx+ a >ày-

, dn , dn ^dx + ^dj

dn dn

C, àx~~ hC * dy

~dx*

dxdy

Développée, cette équation s'écrit

d 2 n dn ^n

d*n /dn y

\d^y d#dy dar dy ' d^ 2 \àx )

fàny , , ,/dn\»dn ,

/<my<Hi

\ty ) àx

/<mv

Si Ton désigne par a et (3 deux constantes arbitraires, aw+ $v devra aussi vérifier cette dernière équation; que l'on remplace II par oui -h (3 c dans cette équation et qu'on annule les coefficients de a 8 , a 2 (3, a(3 a et (3 8 , et l'on obtiendra le système suivant de quatre équations aux dérivées partielles du second ordre, auquel satisfont les fonctions u et v :

à 2 ufdu\ 2 d 2 u du du d 2 u /du\ 2 dx 2 \dyj dxdy dx dy dy 2 \dxj

fdu\* , r X (àu\ 2 du , ,,[du\ 2 àu , /du\*

d 2 u /<fr V à 2 v du dv d 2 u dv dv

dx 2 \dyj dx 2 dy dy dxdy dx dy

d 2 u/dv\ 2 d 2 v du dv d 2 v \ du dv du dvl

dy 2 \dxj dy 2 dx dx dx dy [dx dy dy dx]

dufdv\ 2 , f i \\àu (dv\ 2 dv du dvl

3c ^Uj +(C '- 2 M^U) +*dï<TxTx\

, Q du(dv\ 2 t , i\\àu(dv\ 2 dv du dvl

+ 3fl "Çy + ^-^\TATy) + *T X <TyTy\

Multiplions ces équations respectivement par

\dy)' dy\dy) ' dy\dy)' [ty)'

d'une part, par

(àv^\ 2 dv lY^A 2 ^ dudv^dul

\ày) dx 9 l\dy) dx ^ 2 dy dy dx]'

K^V^i àuàv^àv] (^\ 2du dy) dx~*~ 2 dy dx dx]' ~ \dy) fa'

d'autre part, etc., et ajoutons membre à membre. Nous obtiendrons, après des simplifications immédiates, le système suivant équivalent au proposé, et linéaire par rapport à chacune des fonctions a et > séparé-

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.

ment ( f ) :

/ dv d 2 u du d 2 v

f du dv

àyày*

dy dy 2

du d 2 v

dv d 2 u

dx dy 2

dv d 2 u

du d 2 v

dy dx 2

du à 2 v

dv d 2 u

\dx dy

du d 2 v

dv du\ dx dy j

dv d 2 u N

dy dxdy

dv d 2 u dx dxdy

( j \ f du dv dv du

^ ' 2 ' ' \dx dy dx dy

dy dxdy

du d 2 v \ , , n [du dv dv

dx dxdy I ^ * 2 ' \dx dy dx

dv du dy

\ dx dx-

/du dv

dx dx 2 2 \dx dy

dv du\ dx dy)

Étant donné le système (B), il est évidemment vérifié par les fonctions

TT £< "\ ~i~ C'2^2

C \ *l ~H ^2^2+ Ça*',

c K u-\-c 2 v-\-c z Ci u-hc 2 v -hc 3

y C\ %\ + Cg z

CiZ t 4-c 2 js 2 -i- c 3^3

y Clu + Clv + Cl

Cj u-{- c % v -h c 3

(') Ce système a été construit par M. Goursat dans la Communication citée page 17, et dont cet alinéa est le développement. M. Goursat démontre différemment le point suivant :

^ » .• /ex j'j .*d*u d*u d*v d*v r . , du du dv dv

« Des équations (B) on déduit -r-zi -7-7 > t— :> -t— : en fonction de-r-> — > -r-> -r— >

ôx* dy 1 dx* dy %

dx dy dx dy

» , -t — ï-> pourvu que le déterminant fonctionnel -r r ^ — 7- ne soit pas nul, et

dxdy dxdy dx dy dy dx r

il est bien aisé de prouver que ce déterminant ne peut être nul identiquement.

» Si l'on différentie ensuite les quatre équations (B) par rapport à x et à y, on déduira

d* u d* u d* v d* v des nouvelles équations les dérivées partielles . « . ? -r — r-r> -r — r— -> t . > en fonction

1 r dx* dy dx dy 1 dy dx 2 dy 2 dx

des précédentes, et Ton pourra former un système de huit équations aux différentielles to-

, , . , , , . du du d-u dv dv d*v

taies du premier ordre, ou les inconnues seront u, v, ---> — > -r — — > -r-> -r™> ^ — r-" r dx dy dxdy dx dy dxdy

» Si les conditions d'intégrabilité sont satisfaites identiquement, l'intégrale générale contiendra huit constantes arbitraires. Mais nous savons a priori que les fonctions u et v dépendent de huit constantes arbitraires. Il est donc nécessaire que ces conditions d'intégrabilité soient satisfaites identiquement, et Ton aura, par conséquent, l'intégrale générale de (B) en posant

les c étant des constantes arbitraires. »

5o A. BOULANGER.

les c étant des constantes arbitraires. Je dis que, réciproquement, c'est le système le plus général dont l'intégrale générale ait cette forme.

En effet, si Ton se reporte aux calculs développés dans le § 1 de la première Partie, on reconnaît que le résultat de l'élimination des constantes c entre les équations intégrales, et des fonctions u et v entre les équations obtenues et le système (B), fournit précisément le système (B) lui-même, où u et v sont remplacés par U et V.

4. Revenons sur les conditions d'intégrabilité du système, qui sont

dcit da 2 da$

a t s-ha 2 t-i-a t g-hp-^ + q— + z -^

i t i dbt db 2 àbn

7 7^7 àbi db 2 db z

dc t dc 2 dcz

= c t r+c 2 s-i-c i p-hp-^+q^ + z-^-

Après remplacement de r, s et t par leurs expressions tirées du système donné, on a deux équations linéaires et homogènes en/?, 7, z. Elles doivent être identiques en /?, q, z, puisqu'elles doivent admettre une infinité de solutions ne différant pas seulement par un facteur constant. De là les six relations différentielles suivantes entre les coefficients du système (A), conditions nécessaires et suffisantes d'intégrabilité :

da { 7 l L , db t

'ôy

da 2 ? 72 , àb 2

7 V<*2 L. 7 2. VOi

71 7 àb { 7 de,

l\ -»- Mi + ~ d j = «, c, -4- b t c t -h c, -h ^-,

7 7 7 ^63 7 <fc

ôy * ' ' 3 2 ' <te

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGÈNES. 5l

De la première et de la cinquième de ces relations, on déduit par addition

d(a h -hè 2 ) à(b { -+• c 2 )

dy dx

en sorte que (a i -+- b 2 ) et (b h -f c 2 ) sont les dérivées partielles d'une même fonction ç(#, y). Ce résultat pouvait d'ailleurs se déduire de l'expression obtenue pour D.

Ces relations se mettent sous la forme suivante :

, do

da { de 2 do do d 2 cp

6, = a t c, — rt,c 2 -h -£ + -£ ■+■ a, -£ + c a £

cjy d# ' dy 2 du? d.r dy

7 7 72 , d&< dc<

~dy~te~ h ^ a *~°*)\ty~dï) • a » \¥" ~ ^/ f \^ ~ "^/ '

db 3 des ,-, \(àa K db K \ ? fdb K dc t \ fda 2 db 2

dy dx^^* 2j \ày dxj^ 2 \dy dxj^ *\dy dx

Les cinq premières expriment b n b 2 , b iy a 3 , c 3 en fonction de a n a 2 , c n c 2 et de cp, et les deux autres sont deux équations aux dérivées partielles du second ordre liant ces dernières quantités.

S. Nous allons utiliser ces relations pour mettre le système (A) sous une forme canonique due à M. R. Liouville (*).

(*) Roger Liouville, Sur quelques équations différentielles non linéaires (Journal de l'Ecole Polytechnique y LVII cahier, p. 189) et Sur les invariants de certaines équations différentielles et sur leurs applications (Ibid., LVIII cahier, p. 7).

Si Ton fait le changeaient de fonction

z = Ze i / (tf t^ ,djrH(A « +c « ,</7 ,

qui n'altère pas u et i>, le système transformé en Z, de même forme que le système (A) et dont nous désignerons les éléments par des majuscules, admettra pour intégrales

y p /du dv du àv\ 3

1 \dx dy dy dx)

Ij 2 — U/j i ,

Z 3 =oZ 1 ;

par suite, on aura, pour ce système, D == const. ou ç e^ const. Soit

Les conditions d'intégrabilité, vérifiées pour le nouveau système comme pour l'ancien, et dans lesquelles <p est une constante, donneront

Les quatre fonctions a, (i, y, o sont liées par les deux relations que nous supposerons vérifiées identiquement

Jx 2 Ar

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 53

et le système prendra la forme de M. Liou ville

R= a P- T Q+[ 2 (a»+(i T )-g + ^]z, (A,) js^-pP-aQ + ^-ap h- | -h g] Z,

8P+pQ+[ 2( p-+a8)-| + *]z.

6. M. Liou ville est arrivé à ce type par une voie différente, à propos de la détermination des équations différentielles ordinaires du second ordre dont l'intégrale générale a la forme

c i > c 2 » c 3 étant des constantes arbitraires et z n z 2 , z 3 des fonctions de x et de/.

A chaque système (A) correspond une telle équation, obtenue en faisant z = o, et, par suite,

/>+ î/=o, r H- 2,y/-h ty 7 * 4- çj" — o ;

une élimination immédiate la fournit, à savoir

(G) j" + ^ j" -h 3<A, a /» + 3d,,/ -h dt 4 - o.

Réciproquement, l'équation (C) étant donnée, les coefficients <A> étant liés par les conditions indiquées ci-dessus, une infinité de systèmes semblables à (A) lui correspondent, ayant pour intégrale générale le premier membre de ( i ) lorsqu'on y laisse x et y indépendants.

Ce lien permettra d'étendre aux équations (C) de M. Liouville les solutions des problèmes qu'on traitera relativement aux systèmes (A).