FORMATION DES SYSTÈMES (A) INTÉGRABLES ALGÉBRIQUEMENT

1 . Nous nous proposons de former tous les systèmes ( A ) à coefficients rationnels et dont l 'intégrale générale est algébrique.

Nous commencerons par indiquer un système particulier répondant à la question.

Soient

les deux fonctions fondamentales invariantes relatives à un groupe linéaire fini (oc).

Considérons les trois expressions

z t — vz n

comme fonctions de x et de y. On peut former un système du type (A) auquel satisfassent ces trois fonctions. Nous allons en calculer les coefficients.

Tout d'abord, à cause de la relation

du dv du dv\ ( df dg df dg\

dv du)

dx dy dy dx ) \du dv

on a

1^ 3 (du dv du dv\

" 4 \dx dy dy dx J '

en sorte que le système se présentera sous la forme canonique, et le déterminant des équations linéaires qui feront connaître soit les a, soit les b, sera égal à l'unité.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.

Si Ton se reporte pour les notations au § I de la première Partie, on obtient immédiatement les coefficients a et 7 de la première équation du système (A) :

dz {

dx 2 dy

d 2 {uz K ) d(uz<) dx 2 dy

d 2 {vz K ) d(vz t ) dx* dy

3 (d 2 u dv

d 2 v àu\

dx 2 dy dx* dyj

2 dz K /du dv du dv\ \dx dy dy dx )

« dx

o r o (d 2 u dv d 2 v du\ dV

«- d 2 u dv d 2 v du f d 2 u dv d 2 v du\

dx 2 dy dx 2 dy \dxdy dx dx dy dxj*

ou, enfin,

de même

dz h

U Vf

dx*

d(uZi)

d 2 (uz t )

dx 2

d(vz<)

d*{vz<)

UZ,

d 2 v du d 2 u dv

'* V dx 2 dx

dx 2 dx

d 2 u dv à 2 v du

dx 2 dx dx 2 dx

ou, enfin,

On trouverait de même

Les conditions d'intégrabilité étant nécessairement vérifiées, les fonc-

tions I, M, N, J de x et de jr 9 que nous avons formées dans le cas du groupe de Hesse (p. 4 2 ) satisfont identiquement aux deux relations

dn t dm d*N o d(M» + IN) .-3 d /N\ __ i d(J*l) dy* ^ àxdy dy* + dy + dx \M* ) J dx ~ °'

^!l oi!^ * M q<)(N ' + JM) N3 d /M\ i ^(I 2 J) n dx* * dxdy dy* ~*~ dar • ^V^V I dy ~ '

déjà signalées page 43.

Ainsi le système

r= Mp-Iq+[*{W+ IN) £+*]*,

(A 2 ) ]* = -N/i-MjfH-[lJ -MN+^ + g]x,

, = ip +N ^ H . [ 2(N >u j M ) g! + £]*,

o& 1, J, M, N jo/tf fey foliotions formées d'autre part, est intégrable algébriquement; son intégrale générale est la famille de surfaces de degré 1 1 6 X 3 = 648, définies par les équations

A 8 j — aD^o,

AV — (ou/ + $v + y) 3 C 2 K = o,

A, B, C, K, D étant les fonctions de u et de p définies au § II de la première Partie (*v= i), et a, (3, y trois constantes arbitraires.

2. Considérons maintenant un système (A) dont les variables soient £, 71 et dont l'intégrale générale soit algébrique. Si Ton fait décrire aux variables £ et t;, respectivement dans leurs plans, des contours fermés quelconques, les intégrales distinctes z n z 2 , z z se changeront en fonctions linéaires des,, z 2 , z 3 , et à tous les contours fermés des deux plans cor-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGENES. 5j

respondra un groupe de substitutions linéaires qui sera d'ordre fini, puisque, pour des valeurs données de £ et y,, z ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Ce groupe est dit le groupe du système (A) ; supposons que ce soit le groupe de Hesse.

Les fonctions fondamentales invariantes f{u<> *>), #(#> *>) du groupe de

Hesse, dans lesquelles on remplace u et v par —et—? conserveront la

même valeur si Ton fait décrire à £ et à y, des contours fermés quelconques; par suite, ce seront des fonctions rationnelles de £ et y,, soit

Il résulte de là, et de la double expression de D donnée pages 45-46* que le système (A) le plus général, intégrable algébriquement et dont le groupe est celui de Hesse, se déduira du système ( A, ) précédent, par le changement de variables et de fonction

tf=P(S,Y,),

z = Vx(«, *))*i

P, Q et ^ étant trois fonctions rationnelles arbitraires de £ et de y,, et n un entier quelconque.

3. On peut, d'ailleurs, obtenir ce système sous forme explicite sans passer par l'intermédiaire de (A,).

Les fonctions u et v de £ et 7) vérifient le système (B) de quatre équations aux dérivées partielles de M. Goursat (p. 49)? où x et y sont remplacés par £ et il. Exprimons dans ce système u et v en fonction de

P&rOetQCkr,).

Des dérivations immédiates donnent

d JL — — p — £9 à$ — di dî + ty à\ y

du dudP dudQ dfi dx dr\ dy &t\ '

à*u du d*P t du d 2 Q , d*ufdP\* à* u dP dQ à* u { àQ\*

i — ^ "3 — 5 ~TK ~ ïr~ ~~i

dfr ~ dx dp ^ dy d& ^ dx* \d\) ^ * dxày à\ d\ ^ ày à*u du d 2 P , du à*Q d*u d? dP

d a M du d*P ( <*w <J 2 Q , d*u/àPy d* u dP dQ t d*

d$dt\ dx d\&t\ dy d^dt\ dx' 1 d% <fy

*!L (— ?Q d - ?Q\ à*u.dP dQ

«fy 2 &r dr\ 2 ' dy àr? ' dx 2 \dt\ J ' "" dxày &t\ dt\ ' c|y 2 \dr\ J

avec des formules analogues relatives à v. On en déduit :

d 2 u dv d*v du ~d&dJ~WdJ

'\dï* à\ d? dt)\dlcdy~ dx dy

(dP\* Vd^u fo<Pv àu~\

\dl) [dx* dx dx* fa\ dP\' dQ Vd^u dv d*v < dj) If I fa* dy~ ~ dx* dy~ "^ 2 \dxHy fa

fdPy dQ r d*u dv d*v du / e» 2 ^ dv^ d*v du\\

dP (àQyrd^v du à*u dv f à*v du d*u dvil

àt\àl) [dy* dx dy 1 dx ~ l ~ 2 \dxdy dy ~ dx dy dy)\ (dQ\* [d'y du d*u àv~\

d* u dv à*v du f d 2 u dv d*v du

W à^~"dT i àl l ~ h ' 1 \djd^ dl ~ djd^ dÇ,

J d^P dQ d*Q dP / d'P dQ ^Q dP\ "j / du dv

~ [ d? &ï W ïh " + " 2 \djàri ~&ï àfâii d\ )\ \dx dy~

dv du\ dx dy J

„ (dPy dP\<Pu çfc d*v dul ~*~ \dl) dri [dx 2 dx dx* dx~\

KdPydQ dP dP dQl fd*ji dv d*v du / d^u dv d*\v du\~\ d%) an + 2 dÇ &n d$] [dx* dy ~ dx~* dj + 2 \dxdy dx dxdy dx)\ KdQ y dP dQdQ dP\ Vd*v^ du d*u dv^ / d*v du d*u dy\ 1 ~d% J d-n + 2 d\ dv à$ J [dy* 12 ~ ' dy' fa "•" 2 \dx~dy dj dx dy ày J J

— *\ àt ) d A [dy* dy- — ày* dj\>

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES. 5o,

Ces relations, jointes à la suivante,

/du <fr dv du\ /dP dQ dP dQ\ __ du dv du <h \dx dy dx dy)\di'd^ ~ d^lÇ ) '~ d$dli~ d^dj'

transforment le système (B) en celui-ci

d'PdQ d»Q dP /dP\', D ,., /dPVdQ., /n ^

— £2 *I9 £? r d»p ^q d*Q <?pi i

d£> drj dp dq + 2 [dÇ<hj df "" df^ M J J

d^QaP^PdQ / d»Q dP d»P dQ\

<V dÇ ~~ " ïhf ~dj ~*~ 2 \djd^ 5»j ~~ djdï, d^J

Si le système (A) est intégrable algébriquement, le système (B,) est vérifié par deux fonctions rationnelles P(£, r,) et Q(£, r,). Inversement, si Ton se donne arbitrairement les deux fonctions rationnelles P et Q, les relations (B,) permettent de calculer les coefficients du système (A) le plus général intégrable algébriquement. Ainsi, on obtiendra le système — - - - - - ■ - ■

(*) Cf. Painlevé, Comptes rendus, 3i mai 1887.

canonique (A,) le plus général intégrable algébriquement {groupe de H es se) en prenant pour valeurs de y, 3 a, 3(3 et 8 les seconds membres des relations ( B l ) .

4. J'ajouterai une remarque relative à la structure du système (B f ) : on pouvait prévoir a priori que P et Q ne figureraient dans les équations de ce système que par les fonctions I, J, M, N de P et Q.

Ce système n'est autre que celui vérifié par les fonctions P(£, ij) et Q(£, ïi ) permettant de passer du système (A 2 ) au système

( d'Z f > s dZ dZ „

par le changement de variables et de fonction

(a) *=P(£,7)), j-QC^r,), 2 = <v(S,7i)Z.

A chacun des systèmes (A a ) et (A) correspond un système vérifié par les quotients deux à deux de trois intégrales linéairement distinctes, à savoir :

i d 2 u dv d 2 v du j (du dv du dv\

(Q ) \ dx 2 dx dx* dx \dx dy dy àx )

d*V dV d 2 V dV

(û) ^ 2 ~àï dp dt

fdU dY dU dV\

a *\dl &n ~ &n dl)'

Or les valeurs de (u, v) et (U, V) provenant des intégrales associées par la dernière relation (a) sont égales; et, comme l'intégrale générale de chacun des systèmes (Q 2 ) et (Q) se déduit d'une intégrale particulière par une transformation homographique à coefficients constants, on peut dire qu'à toute intégrale u(jc 9 y), v(x 9 y) de (û a ) correspond une intégrale

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGENES. 6l

U($, r,), V($, t.) de (û), telle que

a? et y étant liés à ç et à tj par les relations

(P) * = P(iu), r=Q(Ç,^).

Si donc on fait dans le système (Q 2 ) le changement de variables défini parles relations ((3), P et Q étant convenablement choisis, on doit retomber sur le système (û). Or, choisissons arbitrairement P et Q; les fonctions U, V de £, ïj vérifieront un système (Q') dont les coefficients

seront connus à l'aide de I, J, M, N et des dérivées -^> -r-> -^-> •••>

"5P "' -rr- Pour exprimer que (Û) et (Û') coïncident, on n'a qu'à

identifier les seconds membres de (Û) et de (Û') (supposés résolus par rapport aux invariants différentiels) et l'on obtient le système (B,).

Le système (B,) ne renfermera donc que les combinaisons I, J, M, N deP(£, Tj) et de Q(£, 7)) et, en outre, les dérivées premières et secondes deP(S,r,)etdeQ(£,7i).