ET LES INVARIANTS DE M. PAINLEVÉ

1. Considérons l'équation différentielle linéaire et homogène du troisième ordre

(D) f'+3a/'-i-3b/+cy = o,

dont les coefficients a, b, c soient des fonctions rationnelles de la va riable x.

Soient j*,,/ 2 , y % trois intégrales linéairement distinctes; posons

les fonctions U(a) et V(#) vérifient un système de deux équations différentielles du quatrième ordre qu'on va former. Construisons le système

,.(iv) r /./// ,// ,7 „ t m ,// ,/ ,,\

W — MX [U , U , il , //, (' , P , P , 1>J, „(iv) p //// // / <// // / N

dont l'intégrale générale est

ail -h 6V-hc

fl "U + y/y + c " aU-h6V-hc

U et V étant les fonctions de x définies plus haut. Il suffit pour cela d'écrire les équations (3) sous la forme

a(wU) + b(u\) + cu — ar\J — b'Y — </ = o, a( pU) 4- ft( pV) + w — af U — 6"V — c"= o,

et de différentier chaque équation quatre fois. On obtiendra l'équation (1) en éliminant les constantes a, b, c, a', V , c', a' 7 , &", c* entre les neuf premières équations formées, et l'équation (2) en traitant de même les huit premières équations et la dixième. Le dernier résultat, par exemple,

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.

est

! (ail)"'

(pUf (pU) ,v

(«vy

(«Vf (pV)'

(pV)' (pV) w (pV) ,v

ir \

Développons les deux premières colonnes; après une simplification immédiate, il vient

tnf

2tt'U

3UV+3U"w

3UV'-f-3U'V

au'Y

i .jr