it

3dd,

rf+4/

v"ii)d %

H-at>V

3dd 3

+ 2Ctt

rf,].

••rfj

— ai/'rfj

Si Ton remarque que Ton a identiquement

dfr/ 5 — rfj rf 4 -t- d 2 d z = o , les termes surlignés se détruisent, et ceux qui restent se groupent ainsi :

i2/7/ 2 [(pV"- uW")d + («7- •«•)«*,] + oyd»rf 4 (/«*'— oV) — 9 v" d* d^u' v" - ■+- 6d*d a i/(t/(P — •«") - 6i/dd,d t (i/ f u'

Réunissant les divers termes calculés, on obtient enfin l'équation de-

mandée, qui s'écrit, après quelques simplifications évidentes :

#[9«^(c/af— (1) j + d(6dd 3 — 4<+ 3dd 2 ) [a</(i*V — Su") — 3 /(«// — v'u")] + (8< -+- Qd'd.— Gdd.d,— ^dd { d s )v\u'v"— v'u") = o.

On formerait de même r équation (2), qui se déduirait d'ailleurs de la précédente en permutant u et v.

2. Je dis que les coefficients qui figurent dans ces équations,

T 4û?Ï — 3<f(d 2 4- arf 3 ) 1 «— 55 '

f 6rf^ (rf 2 -h 4rf 8 ) — 8rf? — grf 2 ^

et qui dépendent de U'" V, U", V", U'", V", U ,v , V IV restent invariants pour toute substitution linéaire effectuée sur U(#) et V(#). En effet, quand je remplace U et V respectivement par

l'intégrale générale w(«r), v(x) ne change pas; on a donc le même système (1), (2), et, par suite, les mêmes équations (1), (2), car le système (1), (2) est résolu par rapport à u iy et *> ,v . Donc les coefficients I, , I 2 sont les mêmes fonctions de #, c'est-à-dire que ce sont des invariants' (').

5. Il est facile de montrer que les coefficients I l9 1,, . . . de ces équations doivent a priori se réduire à deux nécessairement distincts.

En effet, si trois de ces coefficients invariants, a, (3, y, étaient distincts [autrement dit, si l'on n'avait pas entre eux une relation

(*) Cela résultait d'ailleurs de la théorie générale de Sophus Lie (voir, page 20, l'indication bibliographique).

les égalités

où a, (3, y sont exprimés en fonction de u et t>, et a n {3,, y, en fonction de U et V, donneraient pour w, v un système de fonctions dépendant au plus de sept constantes arbitraires [U et V étant des fonctions données de x\.

D'autre part, si tous les coefficients étaient fonctions d'un seul d'entre eux, a par exemple, le système (i), (2) ne changerait pas quand, à U et V, on substituerait U f et V,, tels que

Or, U, V étant donnés, on pourra prendre V, arbitrairement et choisir U, vérifiant cette dernière égalité. Les relations (3), où l'on remplacera U par U f , V par V,, donneront encore l'intégrale du système (1), (2), intégrale qui dépendrait ainsi d'une fonction arbitraire V n ce qui est absurde.

Si a et (3 sont deux invariants distincts, les égalités

équivalent au système (1), (2).

% 4. Revenons à l'équation différentielle proposée (D). Lorsqu'on fait

décrire à la variable x un contour fermé quelconque, les quotients

\J(x) = Zi, V(x) = ^

se transforment en quotients de fonctions linéaires de U et de V ; les fonctions I, et I 2 restent donc invariantes. Elles dépendent par suite uniquement des coefficients a, b, c de l'équation donnée (').

(*) Ces invariants, tout à fait analogues à la fonction invariante de M. Schwarz, sont dus

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 69

Pour en faire le calcul il suffit d' éliminer y ,, y\ y y' t , j"> j', v entre les six équations homogènes suivantes :

y] 4- 3ay\ 4- 3by\ -+■ c/, = o, (iW-h 3a(U,y ( )'+ 3*(Uj l ) / + cUr, .= o,

(Yr.r h- 3a(v r) r + s^vj.y-t- c v r , = o,

y" 4- 3 ay" + 3 {a! 4- b)y\ -+- ( 3 £' 4- c)y\ 4- c'/, = o, (U <r< ) ,v 4-3a(U ri f+3(a'+è)(U <ri y / 4-(3^4-c)(Uj 1 / + c'Uj l = o, (V7 < r4-3a(Vj < y ,, + 3(a'+^)(V <r< )' / +(3^- + -c)(Vj ) y4-c'V tri = o.

La seconde et la troisième s'écrivent, en tenant compte de la première :

3U>;-h3(U"-h2aU')y i + (U w 4-3aU' / -h3èU / )r < = o, 3V>; 4- 3(V*4- aaV')/, 4- (V w 4- 3aV"-h3bY)y t = o.

Deux combinaisons linéaires, ayant pour multiplicateurs, l'une V" et — U", l'autre V et — U', donnent

(4) 3dy]-h6ady\-h(3bd—d s )y i = o }

(5) 3dy\+[3ad-+-d t ]y t =o.

La cinquième et la sixième équation s'écrivent, en tenant compte de la quatrième :

Wf,+ 3(aU"+ 3a\J')y t 4- [4U'"4- ga\J" 4- 6(a'+ *)U']/,