U (IV >4- 3aU'"4- 3(a'4- &)U"-h (3ft'H- c) U'] j, = o

4V>:4- 3(aV"4- 3aV')y 4- [4V W 4- gaV+ô^ A) V']/,

[V ,v 4- 3aV w 4- 3 fa' -h *) V*4- (3^+ c) V']y, = o.

à M. Painlevé, qui les a signalés très succinctement dans une Note Sur les équations dijférentielles linéaires du troisième ordre, insérée aux Comptes rendus du 27 janvier 1887. Ce paragraphe est le développement du début de cette Note.

Les mêmes combinaisons fournissent les équations équivalentes :

[ Gdy] + [\d h 4- gad]y\ 4- [d 2 4- 3arf 4 -h 3(a'4- &) </] y K = o,

(6) j t\df y ->r§ady\ 4- [—4^+ 6 (a' H- *)<*]/,

-4- [— d A — 3ad z 4- (3£'-h c)d] y, = o.

Faisons enfin disparaître y\ de cette dernière, en tenant compte de la proposée ; il vient

(7) 3ady]^[^d 8 -6(a f -b)d]y\^[d  ^3ad 3 -3(b f -c)d]y t = o. L'élimination de y\ entre (4) et (6) donne

[4^i — 3ad] y\ 4- [ad, 4- d 2 4- 3ad, -h 3(a' — b)d]y t = o, et celle de — entre ( 5 ) et cette dernière conduit à

[4^—3*^]^, 4- 3ad] — 3d[ad 3 4- d 2 4- 3ad, 4- 3(a'— ft)d] = o. Cette relation peut s'écrire

d 2 [ 9 a'^ 9 (a f -b)] = /id 2 t -3d(d 2 +2d 9 ) 7

c'est-à-dire

Éliminons de même y] entre (4) et (7)

[4d,— 6(a'-b-ha 2 )d]y\-h [d  -h /iad 3 — 3(b f — c-h ab)d]y,= o,

puis— entre l'équation obtenue et (5)

[4rf 3 6(a f — b 4- a 2 )d] \3ad 4- dj

— 3d[d 4 4- tiad z — 3 (V — c 4- aè)d] = o.

Cette relation peut s'écrire

(\d K d 3 — 3dd 4 — 6(a 2 4- a'— b)dd,= 9 d 2 [aa(a 2 4 - a') — 3a£ - £'4- c],

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES. 71

ou, en tenant compte de la valeur obtenue plus haut pour a 2 -h a' — b,

^dd K d^— Qd 2 d A -+-6dd t d 2 — 8 d]=: 2yd 3 [2a(a 2 -{- a!) — 3ab — 6'H-c],

c'est-à-dire enfin

I a = 27 [aa(a 2 -f- a') — 3ab — &'•+- c\.

S. Ainsi les rapports des intégrales de l'équation (D) vérifient le système suivant :

3d(d 2 -h 2d,) — 4rf;+ 9 [a 2 -f- ci— b]d 2 = o,

&dd { {d 2 + 4^,) — Sd] — $d 2 d Â

-H 27 [— ia(a 2 -t- a!) -+- 3ab H- V— c\d % = o.

On peut n'y faire figurer que

d= U'V"- U"V et D = rf 3 = U"V'"- U'" V";

car on a

Le système prend ainsi la forme

3(rf"-+-D)

= 27[2a(a 2 + a / ) — 3a& — ô'-hc].

(E) { 6rf'(rf"-f-3D) n D'«/^'Y

On désignera les deux équations de ce système respectivement par (E 7 )

et (E").

6. On terminera ce paragraphe par deux remarques qui seront utilisées dans la troisième Partie.

Reprenons d'abord l'équation (5) du n° 4

3dy\ -f- (3ad -f- d!)y { = o ;

multiplions les deux membres par/*; elle s'écrit :

ou, par une intégration immédiate,

> f]de zJadx —coust.

Ainsi

y K = e-' adx (XJ'V"— irvy*.

Si Ton fait dans (D) le changement de fonction

r=Ye- fadx ,

on ne change pas les valeurs de U(x) et V(a?) ; on ramène l'équation proposée (D) à une forme analogue dans laquelle le coefficient de Y" est nul, et Ton obtient

(F) Y, = C'(U'V"— u" vp.

7. En second lieu, si l'on élimine D entre les équations (E), on obtient une équation du troisième ordre en d ; en posant

se — 5-

il vient une équation du deuxième ordre en £, analogue à l'équation de Biccati, et qui n'est autre que l'équation vérifiée par la dérivée loga-

rithmique y ; car la relation du numéro précédent

Y*d=const.

donne

En dérivant l'équation (E'), multipliée par 3, et en ajoutant l'équation

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. j3

obtenue membre à membre avec (E"), on élimine D' :

d"' d'd" d'D c fd!Y r 3 * o 2. i

L'élimination de D entre cette équation et ( E') est immédiate : d'" or d'd" Q fd'Y

— 27~r(a 2 -ha' — b) — 2j[2a z — a" — 3ab + c] = o.

En introduisant Ç, on obtient

(G) Ç" h 3ÇC+ C 3 — 3C(a 2 + a'— ô) -4- (2a 3 — a" — 3a6 + c) = o. On tirera parti plus loin de cette équation.