INTÉGRABLE ALGÉBRIQUEMENT

1. Nous nous proposons déformer toutes les équations différentielles linéaires et homogènes du troisième ordre (D) à coefficients rationnels intégrables algébriquement.

* A cet effet, considérons l'équation (D) et le système (E) correspondant.

Si l'intégrale générale de (D) est algébrique, il en est de même de l'intégrale de (E). Il en résulte, d'après l'expression de y K donnée page 72, que e~ Sadx est algébrique, c'est-à-dire que a est une fonction rationnelle à pôles simples et à résidus commensurables.

Réciproquement, si cette condition est satisfaite et que l'intégrale du système (E) soit algébrique, l'équation (Dj sera intégrable algébriquement.

Cela posé, si l'intégrale de (E) est algébrique, les diverses valeurs de U(#) et de (V(#), qui correspondent à une valeur donnée de .r, forment un groupe fini (a) de substitutions linéaires. Si l'on remplace, dans les deux fonctions fondamentales invariantes qui correspondent à ce groupe, les variables par les fonctions U(.r) et V(#), on obtiendra donc deux fonctions rationnelles de x. Soit

P et Q étant deux fonctions rationnelles de x. Remplaçons dans le système (E) U et V en fonction de P et Q; nous obtiendrons deux équations (E^ ) et (E* ) où figurent les dérivées de P et de Q jusqu'au quatrième ordre inclusivement, et dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des dérivées de t /(U, V) et de g(U, V), par suite des fonctions rationnelles de U et de V, qui ne changent pas par les substitutions du groupe (a), et s' expriment 9 par suite, rationnellement en fonction de P et de Q.