V «TP

A dV T dV

• dP <JQ

3. U et V interviennent dans le système ( E) par les expressions d = U' V" - U" V et D = U" V" — [TV* et par leurs dérivées; nous allons donc former ces quantités. On a d'abord

u dP ^ dQ V '

V' — dY P' i d V O' Une seconde dérivation donne

ou , en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs ( 2 ) ,

U"= ^ [P" -4- AP" - a B t P'Q' - JQ"]

~[Q"+ A..Q" — aBP'Q' — IP"] ou enfin

U" = ™ [P" + 3MP" - JQ"]

^ [Q"-+- 3NQ" — 1P' 2 ] — aU' [BP'-+- B.Q'J .

Nous sommes conduit à poser

<p = P"- + -3MP' ï — JQ'%

(4) ) Y = Q' , -t-3NQ' i -IP ,î ,

G = BP' -*- B, Q'.

Il vient ainsi

U'+2GU'=oS +

V*-haGV' =

V dP

On déduit d'abord de (3 ) et (5)

U"H-2GU' V'+aGV

(6) | =y p '— <?Q/=P'Q"— P /, Q'-+-3P'Q'(NQ'— MF) -^0/^1^=^ Continuons la dérivation sur les formules (5)

U"'-h2GU' / -h2G / U'=^[9'+(AP'— B^)© — (B,P'-4-JQ')t]

Posons

[/-+- (A < Q'-BP')r-(BQ , + IP')?]

$ = ©'+3MP'<p — JQ'y, r = T '4-3NQ'Y — IP'o,

et nous aurons

U , "+2GU // + 2 G'II , ==^[$-2G ? — B |a ]+^[r- 2 G T +BaJ,

àq

V"'H-2GV /, H-2G'V=^[$-2G<p-B 1 a]-H^[r

aGy-l-Ba.].

On obtient, comme plus haut, à l'aide de (5) et (8)

U'-f-aGU'

V+2GV

U'" + 2 GU" -h 2 G' U' \ m + 2 GV" -h 2 G' V

$ 2 Go — B,a T— 2Gy + Ba

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES. 77

ou, en développant,

D - aG'rf-4- aGef -4- 4GV— (B<p -j- B, y)^ == V (<pr — y$).

et, comme on trouve bien simplement

^ = (A--B)P / 4-(A 1 -B l )Q'=3(MP , 4-NQ'-G),

il vient

^=[a'+3(MF + NQ'— G)a]V;

la relation qui définit D prend la forme

5 4- j 2G [ £ 4- 3MF+ 3NQ'l — 2(G a -f-G') — (Bcp -+- B, y) = ;(?r- T *)-