Posons

e=-4-3(MP'H-NQ') et P = <pr — y$.

Ce sont des quantités qu'on sait exprimer en fonction de P, Q et de leurs dérivées ; l'expression développée de (3 sera donnée plus loin. Substituons dans l'équation (E'), qu'on peut écrire

les valeurs de -% et de -7 obtenues, c'est-à-dire

Il vient

3 £ .+. 30'— 6* -+- 3 (Bç H- B,y — G» — G') -h 9 (a* -+- a'— b) = o

S. Nous sommes amenés à former le groupe de termes

A cet effet, reportons-nous aux relations (2) et exprimons que l'on a

il vient, en remplaçant les dérivées secondes qui s'introduisent par leurs valeurs (2)

dA dU dl dU . [ n dU R dU"| T f , dU . <JU"|

d'Q 5F "" 5q 3Q "^ L ^P — 5qJ~" 1 L"~ ap H A «dQj 1P5P + 5P5Q +B 'L A ôp- 1 5qJ +B L~ B * 5F~ B dq\=°

Soit

dl) dU

m dP +/ *dQ=°

cette relation; en considérant de même les dérivées de V, on serait

conduit à

dV dV

Comme V n'est pas nul identiquement, ces relations entraînent

c'est-à-dire

dA. , dB< Tr t> d 1Q +- 5îr + U-BB < =: ,

.JL + «® 31N -h IB, - 3MB -h B 2 = o

dQ dP f

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 79

On obtiendrait d'une manière toute semblable les relations

dAt dB TT ^^ ■âp L - f -5Q +IJ - BB ' =0 '

di SB, n t*. m «vn n)

dP ^ dQ

— 3 JM -h JB — 3NB -h B = o.

Ajoutons membre à membre les premières équations de chaque système,

il vient

âM dNl , TI nn s dB âB {

., [âM , dNl , TI ni) N dB

dQ ' dP

Cela posé, formons G'

G'= BP"+ B t Q"+ | P" + (* + § ) P'Q'h- ^ Q".

Tirons ^5 et -^ des secondes équations des systèmes ci-dessus, et leur somme de la dernière équation obtenue

G'=BP"-hB 1 Q"-+- 1^4-3^-16,4- 3MB-B 2 lP' 2

+ [,(U-BB 1 ) + 8(^ + *)]p'<y -+- [^ + 3 JM - JB h- 3NB, — B*l Q".

Un groupement facile des termes conduit à l'expression cherchée 1G'+G* — Bf — B.f

(,o) j =(*+sra)p*+(3^ + 3S + .ij)p'Q' + ($ + s«)<y

Nous désignerons le second membre, évalué en fonction de P et de Q, par H. L'équation (E')

3 ê,3e'— 6 2 — 3H + 9(a 2 -ha'— b) = o

prend la forme

(E' f ) 3a (a" -h A) — 4 ot/ J -f- 9 a a ( «' -t- a' — b) = o.

où

A=^h- [— H+ 3(MFn-NQ'y— 3(MF+ NQ') 4 ]a. - 2(MP'+NQ')«.'.