En résumé, le système ( E
s'obtient en remplaçant, dans le système (E), rfpar a, D par À et D' par
a = P'Q"— P"Q'+ 3P'Q'(NQ'— MP') -h JQ" — IP" ;
(Q'^ NQ'*— 2 MP'Q'— IP'» ) rP w + gMP'P''— 3 JQ'Q*
3^ 1 h 3M î V î +(3^-i-Ij)P' 2 Q' (£, - 3 M J) FQ" - (*j H- 3 N J) Q"]
(P"+MP"— aNP'Q'— JQ'^fQ^'-H 3 NQ'Q"— 3IP'P"
3^+3N î )Q"+(3§+Ij)FQ'»
(|L + 3 Nl)p''Q'-(|+3Ml)p'*]
■+- a[3(MP"+ NQ") h- (3M S - 3IN + 3^—^) P"
-+-2(3MN-IJ)P'Q'-i-('3N î -3JNH-3^-^)Q' 2 ];
quant à A,, elle est définie par l'égalité (i3) où H, H, et X doivent être remplacés par leurs valeurs déduites des égalités (io), (n), (12); les termes du quatrième ordre sont
provenant de A'.
10. Si l'équation D est intégrable algébriquement, le système (E, ) est vérifié par deux fonctions rationnelles P(#) et Q(-r). Inversement, si l'on se donne arbitrairement les deux fonctions rationnelles P(#) et Q(#), les relations (E,) permettent de calculer les coefficients de l'équation linéaire du troisième ordre (D,) la plus générale intégrable algébriquement. On a
h - tf - a' = *(P, P', P", P'", P'\ Q, Q', Q", Q w , Q"), c y 3ab +- 2 «(a s -+- a') = Ç(P, P', P", P'", P ,v , Q, Q', Q", Q'", Q ,v ),
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 85
S et Ç étant deux fonctions que nous savons former, au moins dans le cas du groupe de H esse. Nous limitant à ce cas, le type général des équations (B) intégrables algébriquement est
a étant une fonction rationnelle arbitraire à pôles simples et à résidus commensurables.
11. Il était possible de prévoir a priori que les fonctions P et Q ne figureraient dans le système (E,) obtenu au n° 9, que par l'intermédiaire des fonctions I, J, M, N de P et Q, et de leurs dérivées premières et secondes.
Le système (E 4 ) résulte du changement de fonctions
/(U,V) = P(*), ff(U,V) = Q(»),
dans le système (E). Posons
X = P(ar), Y = Q(*);
les fonctions u, v de X, Y définies par
vérifient le système
i d 2 u dv d 2 v du y, Y v^T^" ^ v ** u ^ 1
U dk ~ dX* dX — 1 l A » * ' [àK d~Y ~~ d~Y dX]'
dX-
Les relations
entraînent cette conséquence que u et v sont liées à U et V par des relations homo graphiques à coefficients constants; et comme à l'intégrale (U, V), il est loisible d'en substituer une autre provenant d'une transformation homographique effectuée sur U et V, il en résulte qu'on peut associer les intégrales des systèmes (E) et (Q) de manière que
X et Y étant liées à x par les relations
Si donc on fait dans le système (û) le changement de variables
où P et Q sont deux fonctions de x choisies arbitrairement, u et u deviennent des fonctions U et V de #, qui vérifient un système (E) (voir p. 71), soit (£), car l'intégrale générale U(#), V(#) se déduit d'une intégrale particulière par la transformation homographique la plus générale. Pour former ce système (£) en partant de (Q), il suffit d'écrire
rfU OU p/ du ry
di — 3x + 5y^'
et de même pour V, en allant jusqu'aux dérivées quatrièmes, et d'éli-
1 1 , . / du d* u dv d k v . , . ^ ,
miner les dérivées -^7- •••> -r^y -t*t> '"'àï* entre ces relations et le système (û) différence deux fois.
On obtient donc de cette façon un système (£) dont les seconds membres sont connus en fonction des coefficients de (û) dérivés deux fois (exprimés en X, Y) et de P', Q', . . . , P (IV) , Q (IV) .
D'autre part, à notre équation différentielle linéaire et homogène du troisième ordre donnée, correspond un système (E) connu, et pour que
(E) et (£) coïncident, il faut et il suffit que les seconds membres de (E) et de (£) coïncident; d'où deux relations (EJ
g(b — a 2 — a')=A, 2j[2a(a 2 -ha')— 3ab — è'-t-c] = B,
A et B étant connus en fonction des quantités I, J, M, N, de leurs dérivées premières et secondes et de P', Q', . . . , P (IV) , Q (IV) .
Pour que l'équation du troisième ordre soit intégrable algébriquement, il faut et il suffit que le système (E, ) admette une intégrale particulière X = P(<r), Y = Q(#) rationnelle en x (la condition relative à a étant supposée remplie).
Il est donc bien évident ainsi que les quantités I, J, M, N et leurs dérivées interviennent seules.
