TROISIÈME PARTIE

RECONNAITRE SI UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU TROISIÈME ORDRE EST INTÉGRABLE ALGÉBRIQUEMENT.

1. Considérons l'équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients rationnels

(D) y ,/ -h3a/ / +3è/-Hcj = o;

proposons-nous de reconnaître si son intégrale générale est algébrique, et, dans le cas où elle l'est, de la déterminer.

L'équation (D) doit d'abord avoir ses intégrales régulières aux environs de tout point singulier, le point oc compris; par suite

JU

iis.;.

is

- OLiY

Il faut, en outre, comme on Ta vu p. 73, que e~ Sadx soit algébrique, c'est-à-dire que les coefficients (k i soient commensurables. Ces conditions vérifiées, le changement de fonction

y z=z y e -Jadx

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 89

ramène l'équation (D) à la forme

où

$ = a 2 -f- ci— b et \= — 2a 8 H- a" -h 3ab — c.