Y 2 = UY„ Y S = VY

on a (p. 72 , formule F)

Les diverses déterminations de U et V forment un groupe linéaire fini (a) dont je désigne par N le nombre d'opérations. On peut supposer U et V choisis de telle sorte que le noyau du groupe (a) soit ramené à sa forme canonique ( * ) ; les diverses substitutions de ce faisceau s'obtiendront en multipliant U et V par les puissances d'une racine primitive d'une équation binôme telle que

Le nombre (/. est dit Y indice du groupe (a); c'est un diviseur de l'ordre N du groupe

On connaît, d'après les travaux cités de M. Jordan, les nombres N et (x relatifs à chaque groupe fini.

Les diverses valeurs de U'V" — U^V relatives aux substitutions du noyau sont racines d'une équation binôme de degré jjl, ou celles de Y,

(*) Voir C. Jordan, Atti délia R. Accadernia di Napoli, vol. VIII, n° 11, p. i5. Voir aussi les Mémoires énumérés p. 25.

d'une équation binôme de degré 3 a. L'équation algébrique qui définit Y, sera donc de degré 3N ou 3u*n 7 et ne contiendra que les puissances de Y 3 * 1 , c'est-à-dire qu'elle sera de la forme

les coefficients/; étant des fonctions rationnelles de x.

On est ainsi conduit à énoncer les théorèmes suivants, extension de ceux du P. Pépin rappelés dans l'Introduction :

Si V équation (D') a son intégrale générale algébrique, cette intégrale est de la forme

Y n Y 2 , Y s étant trois racines, linéairement distinctes, de l'équation

(H) Y^ + ^Y^-O-f-. . .4-^Y^ + fl^o,

les nombres 2% et n ayant pour valeurs l'un des systèmes contenus dans le Tableau suivant :

N N Indication du groupe. Ordre N. Indice ji. 2fc> m n.

1 Groupe de M. Valentiner 36o 3 9 120

2 Groupe de M. Klein 168 7 21 24

3 Groupe de liesse 216 3 9 72

k Groupe de la cubique harmonique et

de sa hessienne 72 3 9 12

5 Groupe de la cubique harmonique 36 3 9 24

6 Groupe icosaédrique ternaire 60 5 i5 12

7 Groupe tétraédrique binaire 12 3 9 4

8 Groupe octaédrique » 24 4 * 2 6

9 Groupe icosaédrique » 60 5 i5 12

10 Groupes analogues à ceux du dièdre ... 3(x Indéterminé. 3(x 3

Je laisse en dehors de cette énumération les groupes monômes, analogues aux groupes cycliques, pour lesquels les intégrales particulières Y 4 , Y 2 , Y, sont des racines d'équations binômes :

*?=?.(*). YJ^C*), Yï= ?i («), où <p f , <p 2 , <p 3 sont des fonctions rationnelles de x.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 9I