MÉTHODE DE J. LlOUVILLE
Le problème est ramené à reconnaître si l'équation (D') admet pour intégrales les racines de l'équation (H), SKo et n étant donnés (par exemple pour le groupe de Hesse qui nous occupe, SKo = 9 et n = 72) et les coefficients p k étant des fonctions rationnelles supposées réduites à leur plus simple expression. La méthode des coefficients indéterminés permettrait de vérifier s'il en est ainsi, à l'aide de calculs purement algébriques, sous condition de connaître une limite supérieure du degré des fractions p h ena\
Soient jr n y„ ... ,/ A , k solutions de (H) différant entre elles autrement que par un facteur constant ('); formons l'équation différentielle à laquelle satisfait le produit
^* = jp/r • • • > y Mi
ou, ce qui revient au même, l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la fonction
Cette équation est d'ordre
elle a pour points singuliers ceux de l'équation (D) donnée, et elle doit être vérifiée par la fonction
oz
On cherchera donc ( 2 ) les intégrales de l'équation différentielle en Z A ,
(* ) ï^ Vi* - • • > y ^ f° rment > selon l'expression de M. Fuchs, un système réduit de racines.
(*) J. Liouville, Journal de l'École Polytechnique, cahier XXII, p. i54 et suivantes. A propos de la formation de l'équation différentielle en Z*, voir aussi le Mémoire Sur les équations différentielles linéaires de M. P. Appell (Annales de l'École Normale supérieure; 188 1).
de la forme
R(,r) et S(^; étant des polynômes. S[x) ne peut admettre pour racines que les points singuliers de (D 7 ); la formation des équations fondamentales déterminantes de l'équation en Z A , relatives à ces points, fait connaître Tordre maximum de ces racines, et par suite le degré maximum <r de S (a:). La considération du point oc donne une limite supérieure p du degré de R(/r); soit, en effet, \ Tordre maximum du point oc pour l'équation
donnée (1^); Tordre d'infinitude de p k (oc), ou de ^y— '- pour x — oc, doit être inférieur à %(/i — k)l, et par suite
Le degré des termes des fractions rationnelles p k (x) étant ainsi limité, la question est achevée.
Cependant, d'une part, ces limitations de degré sont très pénibles, à cause de la formation des équations différentielles successives en Z A , dont
Tordre, pour le groupe de Hesse, atteint - — = 2701 .
D'autre part, cette méthode est inapplicable au cas des groupes analogues aux groupes du dièdre (cas n° 10), le nombre n pouvant alors dépasser toute limite.
