MÉTHODE DE M. PàINLEVE

La méthode suivante, due à M. Painlevé ( f ), résout le problème de la manière la plus brève, et sans laisser de cas d'exception. Elle peut en outre être étendue au cas où les coefficients de T équation (D) donnée sont algébriques.

Si (H) est intégrale de T équation (D'), y^ est une fonction algébrique

( l ) F. l'AiNLEVft, Sur les équations différentielles linéaires (Comptes rendus, t. CV; 4 juillet 1887).

Equations différentielles linéaires homogènes. 93

susceptible de prendre n valeurs, et il en est évidemment de même de

Y , ( Y xy

De plus, l'intégrale générale étant algébrique, u n'aura que des pôles simples, à résidus commensurables (le point 00 compris). Recherchons s'il en est ainsi. Soit

(H, ) PX+- P*-, vT* -H P^n- 1 +... + P^ + P = o

la relation qui définirait u. Supposons qu'on sache limiter le degré en x des coefficients P,,, P w ,, . . . , P . La méthode des coefficients indéterminés permet alors de reconnaître si l'équation différentielle du second

Y' ordre, analogue à l'équation de Riccati, vérifiée par la fonction u = y et

déjà rencontré p. 73 :

u" h- 3nw' + u* = 3<£u -+- ^

est vérifiée par une relation de la forme (H l ) ; elle fait de plus connaître cette relation quand elle existe. L'intégration de l'équation (D) est alors

ramenée à la quadrature

A(x) désignant une fonction algébrique connue de «r, à n valeurs, et le problème revient à reconnaître si la différentielle algébrique <A> (x) dx s'intègre par un seul logarithme. C'est le problème d'Abel.

Revenons donc à la limitation du degré de P„, P„, , . . . , P n P Q en x.

Si l'on détermine une limite supérieure T3 du degré de P„ en x, P„ P*-a> • • • > P< » P seront de degrés inférieurs à (tS + n).

Soit, en effet, M le degré maximum des polynômes P. Changeons

dans l'équation (H l ) x en ^ ; l'équation obtenue, mise sous forme entière,

s'écrit

a, étant le degré de P,(.r), l'un des exposants M — a, étant nul et les polynômes Q n'admettant pas X en facteur. Gomme u n u 2 , . . . , u n sont infinis d'ordre un au plus pour X = o, leur produit sera infini d'ordre n au plus, la somme de leurs produits (n — i) à (n — i) d'ordre (n — i) au plus, et ainsi de suite. Donc

& —CL„<n ou a <CL n -\- n, CL i — CL n <n—i a, < o^-hw— i,

Ainsi la question est réduite à la recherche d'une limite supérieure du degré en x du polynôme V n (x). Considérons pour cela le produit de n valeurs distinctes (ne différant pas seulement par un facteur constant) de

c'est-à-dire

f u i dx

f (u x + u l +...+u H )dx — 4 / Qfo)

en désignant par Uj-{ le terme p n indépendant de y dans l'équation (H).

IX \x)

Les zéros de V n {x) sont :

i° Ou bien des points x = a singuliers de l'équation donnée, points en nombre connu m ;

2° Ou bien des points tels que x = £, annulant Q (x) et étant des zéros entiers dey,,/ 2 , ... ou y n [car, si x = b n'est pas un point singulier de l'équation proposée (D'), les intégrales sont holomorphes dans le domaine du point x = &].

Cherchons une limite supérieure M du nombre des points b. A cet effet, remarquons que les zéros de R(«r) sont des points singuliers x = a, et l'on sait calculer leur ordre maximum ; si donc on écrit le produit y^ï^ •••,/« sous la forme

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. g5

où les exposants a et a' sont fractionnaires positifs, et les exposants (3 entiers positifs, on connaît une limite supérieure de Sa'. De plus, on sait Tordre maximum r de chacune des intégrales y t , y 2 > . . ., y n pour

- = X = o; leur produit étant d'ordre inférieur ou au plus égal à nr,

on a l'inégalité

S|3H-Sa — Sa'<rcr,

et, a fortiori y

S/3 Or H- S*'.

La connaissance de Sa' et de r, qui résulte de la formation des équations déterminantes fondamentales de l'équation (D') pour ses divers points singuliers, le point oo compris, fait connaître une limite supérieure de S {3 et, par suite, une limite supérieure M du nombre des points x = b.

Il en résulte que le degré de P,,(#) est au plus égal à

puisque les pôles de u K , w a , . . . , u n sont du premier ordre.

Le problème proposé est donc bien ramené à de simples calculs algébriques.

S. Extension de la méthode de M. Klein relative a l'équation du