SECOND ORDRE
Un troisième procédé, dont l'indication est aussi due à M. Painlevé, généralise élégamment la méthode de M. Klein signalée dans l'Introduction. Il consiste à reconnaître s'il existe un système de Jonctions rationnelles P(x) et Q(#) vérifiant le système d'équations différentielles simultanées du quatrième ordre (EJ formé dans le § 4 de la seconde Partie.
Pour que l'intégrale de (D) soit algébrique, il faut et il suffit, en effet, comme on l'a vu (la condition relative à a étant supposée vérifiée), que l'intégrale du système (E) soit algébrique, autrement dit que, pour un groupe fini (a), les équations (E,) admettent un système d'intégrales
P, Q rationnelles. Nous allons reconnaître s'il en est ainsi pour le groupe de Hesse.
Ces fonctions une fois connues, l'intégrale générale de l'équation (D) sera définie par les équations
ér(u,V)=Q(*),
r '(U'V" — U"V) e'f ad * = (aU -+- /3 V-h y)',
y et £ étant les fonctions invariantes fondamentales du groupe de Hesse, et a, (3, y des constantes arbitraires. Or, on a vu que
U'V" - 'lT V =: V [FQ" — P"Q' •+- 3P'Q'(NQ' — MF) -+- JQ" — IP' S ]
et
A 2 s .3 5 .OK
La détermination de l'intégrale générale est donc un problème d'élimination qui n'offre que des difficultés algébriques : on a à éliminer U et V
entre les équations
A'Q(a?) — 2D = o, j'A^P'Q" — P'0'4- 3P'Q'(NQ'— MP') h- JQ" — IP"] «•/«**
= C î K(a,UH-|3 ( V + Y.) 3 J
a 4 , p |f y, étant les constantes d'intégration ; A, B, C, D, K les fonctions définies au § 2 de la première Partie, où l'on remplace w, e, w par U,V, 1.
La recherche des fonctions P et Q pourra se faire par la méthode des coefficients indéterminés, à l'aide d'opérations algébriques, dès que l'on aura trouvé une limite supérieure du degré en x des termes des fonctions P et Q. Si les équations de conditions fournies par l'identification présentent quelque impossibilité, c'est que le système (E,) n'admettra pas d'intégrales rationnelles pour le groupe de Hesse.
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 97
La question est ainsi réduite à la limitation des degrés de P et de Q.
C'est là la difficulté qu'il s'agit de lever.
6. L'équation (D) ayant toutes ces intégrales algébriques, les racines des équations déterminantes fondamentales relatives aux points singuliers a t et au point oo devront toutes être rationnelles et distinctes ('). Il nous sera permis de supposer, pour plus de simplicité, que le point ,x = oo est un point ordinaire; car, s'il en était autrement, il suffirait de poser
a? = to-h^-;
(o étant un point quelconque non singulier. Pour le point a t , l'équation déterminante est
(1) r(r— i)(r— !2) + 3o^-r(r— 1) + 3\Sly £ r-+-Q i = o.
Si l'on fait x = ^ dans l'équation (D), le point X =o doit être un point ordinaire, ce qui entraîne entre les coefficients les relations
La somme des racines de l'équation (i) est : 3(i — c1 v ), et, par suite, la somme des racines des équations déterminantes relatives à tous les points singuliers, en nombre m, est
7. L'introduction des racines des équations déterminantes permet de donner au premier des invariants de M. Painlevé une forme dont on tirera parti plus loin. On a
3(a» + a -b) = 3^ -iT^r+lF^
(* ) Voir, par exemple, J. Tànnery, Thèse, 3° Partie (Annales de l'École Normale, 1875). (*) (Test un cas particulier d'un résultat bien connu. Voir C. Jordan, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, t. III, p. 206 (2 e édition).
Or
,//'+ r "i>" ■+- rV = 2 — 3,1,,. H- 3 &„ D'où
«*»? — tè>t — *, = (4 / -l) , -I + (s*., — l)J>,)
Les termes quadratiques de la décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle 3 (a a -\-a' — b) ont, par suite, pour expression
c'est l'extension de la forme donnée par M. Klein à l'invariant schwarzien. Les termes cubiques relatifs au second invariant
[ia(a 2 -+- a!) — iab — V -\-c\
s'expriment d'une manière un peu plus compliquée en fonction des mêmes racines; mais je n'aurai pas à les utiliser.
